Maior uniformidade de funções aritméticas em intervalos curtos II. Quase todos os intervalos

Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill, Fernando Xuancheng Shao, Joni Teräväinen e eu (finalmente) carregamos nosso artigo no arXiv “Maior uniformidade de funções aritméticas em intervalos curtos II. Quase todos os intervalos“. Esta é uma continuação de nosso artigo anterior a partir de 2022. Nesse artigo, estimativas de descorrelação como

foram estabelecidos, onde é a função de von Mangoldt, period algum aproximado adequado para essa função, period uma sequência nula e foi um intervalo razoavelmente curto no sentido de que para alguns e alguns pequenos tão pequeno quanto e para algumas outras funções, como funções divisoras para pequenos valores de poderíamos diminuir um pouco para valores como , , de . Isso teve uma série de consequências da teoria analítica dos números, por exemplo, na obtenção de assintóticos para padrões aditivos em números primos em tais intervalos. No entanto, havia vários obstáculos à redução muito mais longe. Mesmo para o problema do modelo quando ou seja, o estudo dos primos em intervalos curtos, até recentemente o melhor valor de disponível period embora isso tenha sido melhorado muito recentemente para por Guth e Maynard.

Contudo, a situação é melhor quando se está disposto a considerar estimativas válidas para quase todos intervalos, em vez de todos os intervalos, de modo que agora se estudam estimativas locais de uniformidade de ordem superior da forma

onde e o supremo é sobre todas as sequências nulas de uma certa constante de Lipschitz em uma variedade nilma fixa . Isso generaliza estimativas locais de uniformidade de Fourier da forma

Há specific interesse em tais estimativas no caso da função de Möbius (onde, de acordo com a conjectura de pseudoaleatoriedade de Möbius, o aproximante deve ser considerado zero, pelo menos na ausência de um zero de Siegel). Isto porque se alguém pudesse obter estimativas desta forma para qualquer que cresce suficientemente lentamente em (em specific ), isso implicaria a conjectura de Chowla (com média logarítmica), como eu mostrado em um artigo anterior.

Embora se possa diminuir de certa forma, ainda existem barreiras. Por exemplo, no caso modelo isto é, teoremas de números primos em quase todos os intervalos curtos, até muito recentemente o melhor valor de period recentemente reduzido para por Guth e Maynard (e pode ser reduzido a zero no Hipótese de Densidade). No entanto, conseguimos algumas melhorias em ordens superiores:

Como exemplos de aplicações, podemos obter conjecturas assintóticas de Hardy-Littlewood para progressões aritméticas de quase todas as etapas dadas. e estimativas de correlação de divisores em progressões aritméticas para quase todos .

Nossas provas são bastante longas, mas seguem amplamente o “contágio” estratégia de Walshgeneralizado da configuração de Fourier para a configuração de ordem superior. Em primeiro lugar, por decomposições padrão do tipo Heath-Brown e resultados anteriores, é suficiente controlar discorrelações do “Tipo II”, como

para quase todos e algumas funções adequadas suportado em escalas médias. Então o caso ruim é quando para a maioria tem-se uma descorrelação

para alguma sequência nula isso depende .

A questão principal é a dependência do polinômio sobre . Usando uma “peneira grande de nilsequência” introduzida em nosso artigo anterior e removendo casos degenerados, podemos mostrar uma relação funcional entre os isso é muito aproximadamente da forma

em qualquer momento (e estou sendo extremamente vago sobre qual é a relação “”significa aqui). Por uma versão de ordem superior (e quantitativamente mais forte) da análise de contágio de Walsh (que tem a ver, em última análise, com as propriedades de separação das sequências de Farey), podemos mostrar que isso implica que esses polinômios (que exercem influência em intervalos ) pode “infectar” intervalos mais longos com alguns novos polinômios e vários que estão relacionados a muitos dos polinômios anteriores por um relacionamento que se parece muito com

Isto pode ser visto como uma generalização bastante complicada da seguinte observação vagamente “cohomológica”: se tivermos alguns números reais e alguns primos com para todos então deveria-se ter para alguns onde estou sendo vago aqui sobre o que significa (e por que pode ser útil ter números primos). Ao iterar esse tipo de relação de contágio, pode-se eventualmente obter a comportar-se como um personagem arquimediano para alguns que não seja muito grande (tamanho do polinômio em ), e então pode-se usar técnicas de “arco maior” relativamente padronizadas (mas tecnicamente um pouco demoradas) baseadas em várias estimativas integrais para zeta e funções para concluir.