Von Neumann e um colaborador, Francis Murray, eventualmente identificado três tipos de álgebras de operadores. Cada um se aplica a um tipo diferente de sistema físico. Os sistemas são classificados por duas grandezas físicas: emaranhamento e uma propriedade chamada entropia.
Os físicos descobriram a entropia pela primeira vez enquanto estudavam máquinas a vapor no século XIX. Mais tarde, eles passaram a entendê-lo como uma medida de incerteza. Você pode saber a temperatura de um gás, por exemplo, mas permanecerá incerto quanto à localização específica de todas as suas moléculas. A entropia conta quantos estados possíveis de posições e trajetórias das moléculas poderiam existir. Da mesma forma, em sistemas quânticos, a entropia também é uma medida da sua ignorância. Ele informa quanta informação você não pode acessar devido ao emaranhado entre o seu sistema quântico e o mundo exterior.
As álgebras de Von Neumann especificam que tipo de emaranhamento um sistema possui e, consequentemente, quão bem você pode conhecê-lo.
As álgebras do tipo I são as mais simples. Eles descrevem sistemas com um número finito de partes, que podem ser completamente desembaraçadas do resto do universo. Portanto, se as partes do sistema ficarem emaranhadas com o exterior, você poderá dizer com precisão até que ponto elas o fizeram. A entropia deles – sua ignorância – é limitada. Você sempre pode calcular exatamente o que é. Sorce compara essas álgebras a um copo com o nível da água representando a entropia. Você pode ver o fundo, então sabe a altura da água.
As álgebras do tipo II são mais complicadas. Eles descrevem sistemas que possuem um número infinito de partes, todas inextricavelmente entrelaçadas com o exterior. A entropia absoluta é infinita – e portanto sem sentido. Mas o sistema tem alguma uniformidade que lhe dá um ponto de referência. As partes podem estar todas tão emaranhadas com o exterior quanto possível, por exemplo. Então, se você desembaraçar cinco partículas, saberá que o emaranhamento diminuiu cinco unidades. A quantidade absoluta de incerteza é incognoscível, mas você está um pouco menos incerto do que antes; cinco unidades a menos, para ser mais preciso. Você não pode ver o fundo do copo, mas pode ver quando o nível da água sobe ou desce.
O tipo last, tipo III, é o pior: descreve um sistema com infinitas partes, emaranhado infinito com o exterior e nenhum padrão uniforme no emaranhado para ajudá-lo a se orientar. Nem mesmo as mudanças na entropia são cognoscíveis. O fundo do copo está muito distante para ser visto, assim como o nível da água acima de você.
“O Tipo III está sendo horrível e ninguém quer lidar com eles”, disse Penington (usando uma linguagem mais forte do que “invertendo”).
Quando von Neumann e Murray encontraram pela primeira vez as álgebras do tipo III, eles as acharam estranhas demais para serem compreendidas. A natureza dessas álgebras permaneceria misteriosa por mais de três décadas, até que Alain Connes, um matemático francês, conseguiu defini-las em 1973. O feito rendeu a Connes a Medalha Fields, a maior honraria da matemática. Ele determinou que o que diferenciava as álgebras do tipo III estava relacionado a uma propriedade assustadoramente técnica chamada fluxo modular.
Grosso modo, o fluxo modular se assemelha ao fluxo do tempo – mas é mais abstrato. É um processo físico que leva um sistema a uma determinada temperatura e o mantém nessa temperatura. Uma xícara de chá em temperatura ambiente experimenta naturalmente um fluxo modular (e um tempo físico regular) porque permanece em temperatura ambiente. Mas para uma xícara de chá bem quente, o fluxo modular é a sequência de operações necessárias para mantê-la eternamente quente. Isso não aconteceria naturalmente, pois exige mexer constantemente em todos os átomos do chá, mas é um processo que pode ser especificado matematicamente. Connes percebeu que uma álgebra tipo III descreve um sistema tão emaranhado com o seu entorno que o fluxo modular do sistema também se torna inseparável do que está acontecendo lá fora.
Os matemáticos – e alguns físicos intrépidos – continuariam a estudar as álgebras de von Neumann e seus fluxos modulares. Mas foi apenas nos últimos anos que os investigadores da gravidade quântica passaram a apreciar o seu poder.
Álgebra Alienígena
Quando Liu e Leutheusser estavam tentando entender o que acontece dentro de um buraco negro, eles o situaram em um espaço-tempo perfeitamente liso. Eles sabiam que o espaço-tempo quântico flutuante correspondia a um número finito de campos emaranhados na fronteira e a uma teoria do tipo I. Mas à medida que acrescentaram campos à fronteira para garantir que o espaço-tempo se tornasse suave, viram que a álgebra mudou do tipo I para o tipo III. Em outras palavras, quanto mais campos havia, e quanto mais emaranhado, mais próximo o espaço-tempo se comportava de sua versão clássica idealizada.
Eles então usaram o fluxo modular irremediavelmente emaranhado da álgebra tipo III para dar uma espiada no inside do buraco negro que se esconde em sua massa. Começando com um padrão simples de ondulações nos limites que eles sabiam simular um dispositivo de medição fora do buraco negro, eles argumentaram que um certo procedimento envolvendo um fluxo modular tipo III traria o dispositivo para dentro do buraco, onde poderia medir o fluxo do tempo. Este processo alcançou o objetivo de Liu de determinar qual padrão intrincado de ondulações nos limites period equivalente a um relógio dentro de um buraco negro holográfico.
“Essas novas estruturas proporcionam um tempo emergente”, disse Liu.
Eles não foram os únicos físicos a redescobrir as álgebras de von Neumann. Outros grupos também estavam usando fluxo modular para entender os buracos negros. UM Proposta de 2017por exemplo, pegou um dispositivo de medição dentro de um buraco negro e embaralhou-o de tal forma que acabou do lado de fora. E em 2020 os pesquisadores imaginaram disparar um pequeno buraco negro em um buraco maior e usar o fluxo modular do pequeno buraco negro para retirá-lo.
Sorce, que trabalhou outro procedimento de fluxo modular nesta primavera, diz que todos esses algoritmos estão buscando um único objetivo: entender como as partículas quânticas se comportariam perto de uma singularidade. A singularidade viveria no espaço AdS e não num universo realista, mas a maioria dos hológrafos espera que todos os tecidos do espaço-tempo se desfiem de maneiras semelhantes. (Físicos fora da comunidade holográfica questionam essa suposição.) “Se você pudesse compreender as singularidades no espaço AdS no nível quântico, ficaria muito feliz em declarar vitória na compreensão delas em nosso universo”, disse Sorce.
Liu e Leutheusser destacaram o que period uma espécie de retrocesso da física matemática. “Antes do artigo de Hong”, disse Elliott Gesteau, físico matemático do Instituto de Tecnologia da Califórnia, “period como se fosse um sonho. Havia um palpite de que isso deveria ser importante, mas não estava claro como tornar essa intuição precisa.”
