Está ficando difícil acordar todos os dias, ler as últimas notícias do bloodbath de civis em Gaza e os planos de terminar ou exilar o resto, depois passe pelos dois cheques de identificação no portão do campus, projetados para garantir que nenhum protesto sobre isso aconteça no campus e, quando chegar ao meu escritório, resistir à tentação de escrever um discurso. Mas ninguém quer ler isso, e provavelmente violaria as novas regras que agora estamos vivendo aqui. Então, eu reclamarei em vez de algumas pessoas irritadas sobre a física teórica das partículas.
Esta semana existe o Mais recente edição de uma escola pré-suspensa Em Santa Cruz, projetado para treinar estudantes de pós -graduação e pós -docs. Minha primeira irritação é todo o conceito da coisa. Começa com um Introdução à supersimetria O que apresenta o MSSM, mas por que alguém está treinando estudantes de pós -graduação e pós -doutorado para trabalhar em extensões supersimétricas do modelo padrão? Essa foi uma idéia fracassada antes do LHC (veja meu livro …), e os resultados do LHC confirmam conclusivamente essa falha.
O Introdução à supersimetria Palestras dadas por Ben Allanach são uma versão atualizada de Palestras semelhantes dadas em outras escolas de verão Projetado para treinar pessoas em Susy. Essas palestras acionam várias das minhas irritações de animais de estimação antes mesmo de chegarem a Susy. Já escrevi sobre isso antes, em detalhes, veja aqui.
A primeira irritação é sobre a insistência em usar a mesma notação para um grupo de mentiras e sua álgebra de mentira. Nas duas versões das notas de aula, somos informados de que
$$ SO (1,3) CONG SL (2, MATHBF C) $$
e
$$ SO (1,3) CONG SU (2) TIMES SU (2) $$
Existem muitos problemas com isso. No primeiro caso, trata -se do grupo $ SO (1,3) $. Na próxima, trata -se da álgebra de Lie $ SO (1,3) $, mas o mesmo símbolo está sendo usado para ambos. Alguém poderia imaginar que $ CONG $ significa que duas coisas são isomórficas, mas isso não é verdade em nenhum dos casos.
Mais completamente, na versão mais antiga das notas, nos disseram
Há um homeomorfismo (não um isomorfismo)
$$ SO (1,3) CONG SL (2, MATHBF C) $$
“Homeomorfismo” é um absurdo, que foi corrigido na versão mais recente para
Há um homomorfismo (não um isomorfismo)
$$ SO (1,3) CONG SL (2, MATHBF C) $$
Ainda há o problema de por que um homomorfismo que não é um isomorfismo está sendo escrito como $ cong $. O texto explica mais tarde o que realmente está acontecendo (há um homomorfismo do grupo de 2-1 Lie de $ SL (2, Mathbf C) $ a $ SO (1,3) $).
A outra equação é mais completamente dada como
Localmente (ou seja, em termos de álgebra), temos uma correspondência
$$ SO (1,3) CONG SU (2) TIMES SU (2) $$
O “Localmente (ou seja, em termos de álgebra)” ajuda com o fato de que o símbolo $ então (1,3) $ significa algo diferente aqui, que é a álgebra de Lie de $ SO (1,3) $ e não o grupo Lie $ SO (1,3) $ da outra equação. A palavra “correspondência” dá uma dica de que $ CONG $ não significa “isomorfismo”, mas não diz o que isso significa.
Uma irritação de animais de estimação menor aqui está chamando a álgebra de mentira de um grupo de mentiras de “álgebra”, deixando a “mentira”. Para qualquer grupo, sua “Álgebra do Grupo” é algo completamente diferente (a álgebra de funções no grupo com o produto Convolution). Principalmente quando os matemáticos falam sobre “álgebras”, eles significam álgebras associativas, e uma álgebra de mentira não é associativa. Por que deixar cair a “mentira”?
O que é realmente verdadeiro (como explicado aqui) é que a álgebra de Lie de $ SO (1,3) $ e a álgebra de Lie de $ su (2) Occasions SU (2) $ são álgebras de mentira reais diferentes com a mesma complexificação (a álgebra de Lie de $ SL (2, Mathbf C) Occasions SL (2, Mathbf C) $). Na versão anterior das notas, não há nada sobre isso. Há a definição standard de duas combinações lineares complexas
$$ a_i = frac {1} {2} (j_i +ik_i), b_i = frac {1} {2} (j_i -ik_i) $$
dos elementos base $ j_i $ e $ k_i $ da álgebra de Lie de $ SO (1,3) $, dando duas cópias separadas da álgebra de Lie de $ su (2) $. Tudo o que nos disseram que é que “essas combinações lineares não são hermitianas não anti-hérmitas”.
Na versão mais recente, isso foi alterado para descrever essas combinações lineares como “combinações lineares eremitas”. Somos informados
As matrizes que representam $ j_i $ e $ k_i $ têm elementos que são puro imaginário. (2.2) então implica que
$$ (a_i)^∗ = −b_i $$
É isso que discrimina $ SO (4) $ de $ SO (1, 3) $.
que eu realmente não entendo. Parte da fonte da confusão aqui é a confusão entre os elementos de álgebra de Lie (que não têm uma noção de adjunto hermitiano) e matrizes de representação de álgebra de Lie para uma representação unitária em um espaço vetorial complexo (que o fazem). Aqui existem diferentes representações definidas (spin para $ su (2) $ e vetor para $ SO (1,3) $).
Há então uma versão confusa do “$ SO (1,3) $ correto e a álgebra de Lie de $ su (2) Occasions Su (2) $ são álgebras reais diferentes com a mesma complexificação”
A álgebra de Lie de $ SO (1, 3) $ contém apenas duas cópias mutuamente que comutora a álgebra actual de Lie de $ su (2) $ após uma complexificação adequada, porque apenas certas combinações lineares complexas da álgebra de Lie de SU (2) Occasions SU (2) $ são isomórficas à Lie Algebra de So (1, 3, 3).
Aqui está uma idéia para uma escola de verão para a teoria da física, estudantes e pós -docs: ensine -os adequadamente cerca de US $ (3,1) $, $ SO (4) $, suas capas duplas de spin, álgebras de mentira, complexificações de suas álgebras de mentira e suas representações. Sobre as extensões de Susy do SM, basta dizer que elas são um fracasso que eles devem ignorar (além de uma lição para o que não fazer no futuro).
