Teoremas de densidade zero são estimativas da forma
para vários onde é um parâmetro indo para o infinito, conta o número de zeros da função de Riemann Zeta da parte actual, pelo menos e parte imaginária entre e e é um expoente que se gostaria de ser o menor possível. A hipótese de Riemann permitiria que se levasse para qualquer . Um alvo importante aqui é o hipótese de densidade Isso afirma isso para todos (Isso é, em certo sentido ); Esta hipótese é atualmente conhecida por e mas os limites conhecidos não são fortes o suficiente para estabelecer essa hipótese na região restante. No entanto, houve um avanço recente de Guth e Maynard, que, entre outras coisas, melhorou o limite superior sobre de para marcando a primeira melhoria nesse limite em mais de quatro décadas. Aqui está um enredo dos limites superiores mais conhecidos em ou incondicionalmente, assumindo a hipótese de densidade, ou a hipótese mais forte de Lindelöf:
Uma das razões pelas quais nos preocupamos com teoremas de densidade zero é que eles permitem localizar o teorema do número primário em intervalos curtos. Em explicit, se tivermos o uniforme limitado para todos então isso leva ao teorema do número principal
segurando para todos se (possivelmente excluindo um conjunto de densidade zero) se Tão pequeno quanto e a densidade que os hipóteses diminuiriam apenas para .
No entanto, pode -se perguntar sobre mais informações sobre este conjunto excepcional, em explicit para amarrar sua “dimensão” que grosso modo equivale a obter um limite superior de no tamanho do conjunto excepcional em qualquer grande intervalo . Com base nas afirmações acima, espera -se apenas ser limitado por para seja delimitado por para por Bazzanella e Perelliembora exista um trabalho anterior de muitos autores om algumas quantidades relacionadas (como o segundo momento de lacunas principais) por autores como Selberg e Heath-Brown. Na maioria desses trabalhos, as melhores estimativas de densidade zero disponíveis na época foram usadas para obter limites específicos em quantidades como mas a numerologia period geralmente ajustada a essas estimativas específicas, com a conseqüência de que, quando as estimativas de densidade zero mais recentes foram descobertas, não se poderia atualizar prontamente esses limites para corresponder. Neste artigo, abstraímos os argumentos de trabalhos anteriores (amplamente baseados na fórmula explícita dos primos e do segundo momento do momento) para obter uma relação explícita entre e ou seja, isso
onde
Na verdade, ao utilizar também métodos de quarto momento, obtemos um limite mais forte
onde
e é o expoente em “Teoremas de densidade zero de energia aditiva”
onde é semelhante a mas limita a “energia aditiva” dos zeros, em vez de apenas sua cardinalidade. Tais limites apareceram na literatura desde o trabalho de Heath-Brown e, por exemplo, um ingrediente-chave no recente trabalho de Guth e Maynard. Aqui estão os limites atuais mais conhecidos:
Esta fórmula é moderadamente complicada (basicamente uma variante elaborada de uma transformação Legendre), mas fácil de calcular numericamente com um programa de computador. Aqui está o destino resultante em Incondicionalmente e sob a hipótese de densidade (juntamente com um limite anterior de Bazzanella e Perelli para comparação, onde o intervalo teve que ser restrito devido a uma lacuna no argumento que descobrimos ao tentar reproduzir seus resultados):
Para comparação, aqui está a situação assumindo fortes conjecturas como a hipótese de densidade, a hipótese de Lindelof ou a hipótese de Riemann:
