Algumas variantes da conjectura periódica de ladrilhos

Rachel Greenfeld e acabei de enviar para o arxiv nosso artigo Algumas variantes da conjectura periódica de ladrilhos. Este artigo explora variantes do fenômeno periódico de ladrilhos que, em alguns Casos, um ladrilho que pode traduzir um grupo de um grupo, também deve ser capaz de translacionalmente ladrilho o grupo periodicamente. Por exemplo, para um determinado grupo abeliano discreto considere a seguinte pergunta:

Pergunta 1 (Pergunta periódica de ladrilho) Deixar ser um subconjunto finito de . Se houver uma solução para a equação de ladrilhos deve existir um periódico solução para a mesma equação ?

Sabemos que a resposta a esta pergunta é positiva para grupos finitos (Trivialmente, como todos os conjuntos são periódicos neste caso), grupos unidimensionais com Finito e IN mas pode falhar para Para certos finitos e também para para suficientemente grande ; ver Este publish anterior do weblog para mais discussões. Mas agora se pode considerar outras variantes desta pergunta:

Somos capazes de obter respostas positivas para três desses análogos da conjectura periódica de ladrilhos para três casos dessa questão. O primeiro resultado (que foi gentilmente compartilhado conosco por Tim Austin), diz respeito ao problema homogêneo . Aqui os resultados são muito satisfatórios:

Teorema 2 (primeiro resultado periódico de telhas) Deixar ser um grupo abeliano discreto e deixe Seja com valor inteiro e suportado finalmente. Então o seguinte é equivalente.

Combinando este resultado com um resultado antigo de Henry Mann Sobre somas de raízes de unidade, bem como um resultado de decidibilidade ainda mais antiga de Wanda Szmielewnós obtemos

Corolário 3 Qualquer uma das declarações (i), (ii), (iii) é algoritmicamente decidível; há um algoritmo que, quando dado e Como entrada, determina em tempo finito se alguma dessas afirmações se mantém.

Agora nos voltamos para o problema não homogêneo em que é o primeiro caso difícil (resultados periódicos do tipo de ladrilho são fáceis de estabelecer em uma dimensão e trivial em zero dimensões). Aqui temos dois resultados:

Teorema 4 (segundo resultado periódico de telhas) Deixar deixar ser periódico e deixe Seja com valor inteiro e suportado finalmente. Então o seguinte é equivalente.

• (i) Existe uma solução com valor inteiro para .
• (ii) existe uma solução periódica com valor inteiro para .

Teorema 5 (terceiro resultado periódico de telhas) Deixar deixar ser periódico e deixe Seja com valor inteiro e suportado finalmente. Então o seguinte é equivalente.

• (i) Existe uma solução de função indicadora para .
• (ii) Existe uma solução de função indicadora periódica para .

Em specific, o caso anteriormente estabelecido de conjectura periódica de ladrilhos para o nível um de inclinações de agora é estendido a um nível mais alto. Por um Antigo argumento de Hao Wangagora sabemos que as declarações mencionadas no teorema 5 agora também são algoritmicamente decidíveis, embora permaneça aberto, seja o mesmo que é o caso do teorema 4. Sabemos dos resultados anteriores que o teorema 5 não pode se manter em dimensão suficientemente alta (mesmo no caso clássico ), mas também permanece aberto seja o teorema 4 falha nessa configuração.

Após a literatura passada, confiamos fortemente em um teorema da estrutura para soluções para equações de ladrilhos que falando aproximadamente afirma que essas soluções deve ser expresso como uma quantia finita de funções que são um periódico (periódico em uma única direção). Isso já explica por que o ladrilho é fácil de entender em uma dimensão e por que o caso bidimensional é mais tratável que o caso da dimensão geral. Este teorema da estrutura pode ser obtido pela média de um Lema de dilataçãoque é uma simetria um tanto surpreendente das equações de ladrilhos que basicamente surge de argumentos característicos finitos (visualizando o módulo de equação de ladrilhos Para vários primos grandes ).

Para o teorema 2pode -se aproveitar o fato de que a equação homogênea é preservado sob operadores de diferenças finitas : se resolve então também resolve a mesma equação . Essa liberdade de levar diferenças finitas para eliminar seletivamente certos componentes periódicos de uma solução para a equação homogênea Até que a solução seja uma função periódica pura, momento, é possível atrair uma indução na dimensão, para equiparar as partes (i) e (ii) do teorema. Para se relacionar com a parte (iii), também aproveitamos a existência de homomorfismos de retração de para para converter um coeficiente de Fourier que desaparece em uma solução inteira para .

Os resultados não homogêneos são mais difíceis e dependem de argumentos específicos de duas dimensões. Para o teorema 4também é possível executar diferenças finitas para analisar vários componentes de uma solução para uma equação de ladrilhos mas a conclusão agora é que esses componentes são determinados (Modulo ) por polinômios de uma variável. Aplicando um homomorfismo de retração, pode -se tornar os coeficientes desses polinômios racionais, o que torna os polinômios periódicos. Isso acaba para reduzir a equação de ladrilhos originais a um sistema de equações combinatórias essencialmente locais, que permite “periodizar” uma solução não periódica repetindo periodicamente um bloco adequado do (homomorfismo de retração aplicado à solução unique).

Teorema 5 é significativamente mais difícil de estabelecer do que os outros dois resultados, devido à necessidade de manter a solução na forma de uma função indicadora. Existem agora dois fontes separadas de aberiodicidade para lidar. Um é o fato de que os polinômios envolvidos nos componentes pode ter coeficientes irracionais (ver Teorema 1.3 de nosso artigo anterior Para um exemplo explícito disso para um ladrilho de nível 4). O outro é que, além dos polinômios (que influenciam as partes fracionárias dos componentes ), há também dados “combinatórios” (aproximadamente falando, associados às partes inteiras de ) que também interagem entre si de uma maneira ligeiramente não native. Uma vez racional os coeficientes polinomiais, há periodicidade suficiente para que a abordagem de periodização usada para o segundo teorema possa ser aplicada ao terceiro teorema; O principal desafio restante é encontrar uma maneira de tornar os coeficientes polinomiais racionais, mantendo a propriedade da função indicadora da solução .

Acontece que a abordagem de homomorfismo de restrição não está mais disponível aqui (torna os componentes ilimitado, o que torna o problema combinatório muito difícil de resolver). Em vez disso, é preciso primeiro realizar um segundo momento para discernir mais estrutura sobre os polinômios envolvidos. Acontece que os componentes de uma função indicadora só pode utilizar polinômios lineares (em oposição aos polinômios de maior grau), e que se pode particionar em um número finito de cosets nos quais apenas três desses polinômios lineares são “ativos” em qualquer coset. Os coeficientes irracionais desses polinômios lineares precisam obedecer a uma sentença bastante complicada, mas (localmente) finita, na teoria das desigualdades lineares de primeira ordem sobre as racionais, a fim de formar uma função indicadora . Pode -se então usar o Teorema da Equidistribuição de Weyl para substituir esses coeficientes irracionais por coeficientes racionais que obedecem às mesmas restrições (embora seja necessário garantir que não se caia acidentalmente no limite do conjunto de restrições, onde as coisas são descontínuas). Em seguida, pode -se aplicar periodização aos dados combinatórios restantes para concluir.

Um problema técnico -chave surge das descontinuidades do operador de peça fracionária Em números inteiros, portanto, é necessária uma certa quantidade de manipulação técnica (em specific, passando em um ponto para um limite fraco do ladrilho unique) para evitar ter que encontrar essa descontinuidade.