Sobre a distribuição dos autovalores do GUE e seus menores em índice fixo

Tenho apenas o arXiv do papel “Sobre a distribuição dos autovalores do GUE e seus menores em índice fixo“. Este é um artigo um tanto técnico que estabelece algumas estimativas sobre um dos modelos de matrizes aleatórias mais bem estudados, o Conjunto Unitário Gaussiano (GUE), que não estava anteriormente na literatura, mas que será necessário para alguns trabalhos futuros de Hariharan Narayanan sobre o comportamento limitante das “colmeias” com condições de contorno GUE (com base na nossa trabalho conjunto anterior com Sheffield).

Para fins de discussão, normalizamos o modelo GUE para ser o aleatório Matriz hermitiana cuja função densidade de probabilidade é proporcional a . Com esta normalização, o famoso Lei do semicírculo de Wigner nos dirá que os autovalores desta matriz estará quase toda no intervalo e depois de dividir por será distribuído assintoticamente de acordo com a distribuição em semicírculo

Em explicit, o normalizado autovalor deveria estar perto do localização clássica onde é o elemento único de tal que

Os autovalores podem ser descritos por seus índice ou por seu (normalizado) energia . Em princípio, as duas descrições estão relacionadas pelo mapa clássico definido acima, mas existem flutuações microscópicas da localização clássica que criam dificuldades técnicas sutis entre resultados de “índice fixo” nos quais se concentra em um único índice (e índices vizinhos and many others.), e resultados de “energia fixa” em que se concentra em uma única energia (e autovalores próximos a esta energia). O fenômeno de rigidez de autovalor dá algum controle sobre essas flutuações, permitindo relacionar resultados de “índice médio” (em que o índice varia ao longo de uma faixa mesoscópica) com resultados de “energia média” (em que a energia é calculada de forma semelhante ao longo de um intervalo mesoscópico), mas há problemas técnicos na passagem do controle médio para o controle pontual, seja para o índice ou para a energia.

Estaremos principalmente preocupados com o região em massa onde o índice está em um intervalo da forma para smoe fixo está em para alguns fixos

A lei do semicírculo prevê que essas lacunas tem média próxima de ; no entanto, devido às flutuações acima mencionadas em torno da localização clássica, este tipo de afirmação só é fácil de estabelecer nas configurações de “energia fixa”, “energia média” ou “índice médio”; o caso do “índice fixo” foi apenas alcançado por mim mesmo recentemente em 2013onde mostrei que cada uma dessas lacunas de fato tinha assintoticamente a distribuição esperada da lei de Gaudin, usando manipulações de processos determinantes. Um resultado significativamente mais geral, evitando o uso de processos determinantes, foi posteriormente obtido por Erdos e Yau.

No entanto, estes resultados deixaram em aberto a possibilidade de mau comportamento da cauda em valores extremamente grandes ou pequenos das lacunas. ; em especial, momentos do não foram diretamente controlados pelos resultados anteriores. O primeiro resultado do artigo é levar mais longe a análise determinante e obter tais resultados. Por exemplo, obtemos limites de momento

para qualquer fixo e um limite de cauda inferior

para qualquer de lacunas consecutivas para qualquer fixo mostrando que esta soma tem média e variação . (Isto é uma variância significativamente menor do que seria de esperar de uma soma de variáveis ​​aleatórias independentes; este fenômeno de redução de variância está intimamente relacionado ao fenômeno de rigidez de autovalores mencionado anteriormente e reflete a tendência dos autovalores de se repelirem.)

Um ponto-chave nessas estimativas é que nenhum fator de ocorrem nas estimativas, que é o que se obteria se tentasse usar teoremas de rigidez de autovalores existentes. (Em explicit, se normalizarmos os autovalores na mesma escala na lacuna eles flutuariam em um desvio padrão de cerca de ; são apenas as lacunas entre os autovalores que apresentam flutuações muito menores.) Por outro lado, a dependência de não é o best, embora tenha sido suficiente para as aplicações que eu tinha em mente.

Tal como acontece com o meu artigo anterior, a estratégia é tentar substituir eventos de índice fixo, como tem localização clássica então há um intervalo de energias normalizadas de comprimento com a propriedade de que existem precisamente autovalores à direita de

onde é o número de autovalores à direita de dos autovalores da matriz GUE mas também as lacunas dos autovalores do canto superior esquerdo menor de . Este menor de uma matriz GUE é basicamente novamente uma matriz GUE, então o teorema acima se aplica literalmente ao ; mas acaba por ser necessário controlar o articulação distribuição do e e também das lacunas entrelaçadas entre o e . Para a energia fixa, estas lacunas são, em princípio, bem compreendidas, devido a trabalhos anteriores de Adler-Nordenstam-van Moerbeke e de Johansson-Nordenstam que mostram que o espectro de ambas as matrizes é controlado assintoticamente pelo processo Boutillier bead. Isso também fornece resultados de energia média e de índice médio sem muita dificuldade, mas para obter informações de índice fixo, é necessário algum resultado de universalidade no índice . Para as lacunas da matriz unique, tal resultado de universalidade está disponível devido ao trabalho mencionado de Erdos e Yau, mas isso não implica imediatamente o resultado de universalidade correspondente para a distribuição conjunta de e ou . Para isso, precisamos de uma forma de relacionar os autovalores da matriz para os autovalores dos menores . Pelo cálculo padrão do complemento de Schur, pode-se obter a equação

para todos onde é a entrada inferior direita de e são gaussianos complexos independentes de . Isso fornece um sistema aleatório de equações para resolver em termos de . Usando os limites anteriores para lacunas de autovalores (particularmente os resultados de concentração para somas de lacunas consecutivas), pode-se localizar esta equação no ponto onde um determinado é principalmente controlado por um número limitado de pessoas próximas e, portanto, uma única lacuna é controlado principalmente por um número limitado de . A partir disso, é possível aproveitar o resultado de universalidade existente de Erdos e Yau para obter universalidade da distribuição conjunta de e (ou de ). (O resultado também pode ser estendido a mais camadas do processo menor do que apenas duas, desde que o número de menores seja mantido fixo.)

Isto leva-nos finalmente ao resultado ultimate do artigo, que é o que é realmente necessário para a aplicação às colmeias GUE. Aqui, estamos interessados ​​em controlar a variância de uma combinação linear de um número fixo de lacunas entrelaçadas consecutivas onde o são coeficientes determinísticos arbitrários. Uma aplicação do triângulo e das desigualdades de Cauchy-Schwarz, combinadas com os limites de momento anteriores nas lacunas, mostra que esta variável aleatória tem variância . No entanto, não se espera que este limite seja acentuado, devido ao decaimento esperado entre as correlações dos hiatos de autovalores. Neste artigo, melhoro a variância vinculada a

para qualquer . Não fui capaz de estabelecer tal decadência diretamente. Em vez disso, usando alguma análise de Fourier, pode-se reduzir a questão ao estudo do caso de estatísticas lineares moduladas, como para várias frequências . Em casos de “alta frequência”, pode-se usar a desigualdade triangular para reduzir a questão ao estudo das lacunas de autovalores originais que pode ser tratado por um cálculo de processo determinante (um tanto complicado), depois de primeiro usar os resultados de universalidade para passar do índice fixo para o índice médio, daí para a energia média e depois para estimativas de energia fixa. Para frequências baixas, o argumento da desigualdade triangular é desfavorável e, em vez disso, é necessário usar o núcleo determinante do processo menor completo, e não apenas uma matriz particular person. Isso requer alguns cálculos clássicos, mas tediosos, de certas assintóticas de somas envolvendo polinômios de Hermite.

O argumento completo é, infelizmente, bastante complexo, mas parece que a combinação de ter de lidar com índices menores, bem como com índices fixos, coloca este resultado fora do alcance de muitos métodos anteriores.