Trabalhar numa teoria de tudo é um erro porque não entendemos de mecânica quântica (8:00).
Estas estão simplesmente erradas: a natureza é bonita e descrita pela matemática profunda. Além disso, a mecânica quântica pode ser facilmente compreendida desta forma.
Na verdade, o título e o primeiro parágrafo acima são basicamente apenas clickbait. Inspirado pela aula que estou ministrando, queria escrever algo para divulgar um certo ponto de vista sobre a mecânica quântica, mas imaginei que ninguém iria ler. Arranjar uma briga com ela e seus 1,5 milhão de assinantes parece uma maneira promissora de lidar com esse problema. Depois de um tempo, mudarei o título para algo mais apropriado como “Representações de álgebras de Lie e Quantização”.
Para começar, nem sempre é enfatizado como a mecânica clássica (em sua forma hamiltoniana) é uma história sobre uma álgebra de Lie de dimensão infinita. As funções em um espaço de fase $mathbf R^{2n}$ formam uma álgebra de Lie, com colchete de Lie o colchete de Poisson ${cdot,cdot }$, que é claramente antissimétrico e satisfaz a identidade de Jacobi. Dirac percebeu que a quantização é apenas passar da álgebra de Lie para uma representação unitária dela, algo que pode ser feito de forma única (Stone-von Neumann) no nariz para a subálgebra de Lie de funções polinomiais de grau menor ou igual a dois, mas apenas até ordenar ambigüidades para grau superior.
Isso é bonito e fácil de entender. Como Sabine diria “Leia meu livro” (veja os capítulos 13, 14 e 17 aqui).
Esta é a quantização canônica, mas há uma bela relação geral entre álgebras de Lie, espaços de fase e quantização. Para qualquer álgebra de Lie $mathfrak g$, tome como seu espaço de fase o twin da álgebra de Lie $mathfrak g^*$. As funções nisso têm uma estrutura de Poisson, que vem tautologicamente da definição em funções lineares apenas como o colchete de Lie da própria álgebra de Lie (uma função linear em $mathfrak g^*$ é um elemento de $mathfrak g$). Isso é “clássico”, a quantização é dada tomando a álgebra envolvente common $U(mathfrak g)$. Então, essa história muito mais geral também é linda e fácil de entender. Álgebras de Lie são generalizações de espaços de fase clássicos, com uma álgebra não comutativa correspondente como sua quantização.
O problema com isto é que estes têm uma estrutura de Poisson, mas queremos algo que satisfaça uma condição de não degenerescência, uma estrutura simplética. Além disso, a álgebra envolvente common só se torna uma álgebra de operadores em um espaço vetorial complexo (o espaço de estados) quando você escolhe uma representação. A resposta para ambos os problemas é o método da órbita. Você escolhe elementos de $mathfrak g^*$ e observa suas órbitas (“órbitas co-adjuntas”) sob a ação de um grupo $G$ com álgebra de Lie $mathfrak g$. Nessas órbitas você tem uma estrutura simplética, então cada órbita é um espaço de fase generalizado sensível. Pela filosofia da órbita, supõe-se que cada uma dessas órbitas corresponda a uma representação irredutível sob “quantização”. Exatamente como isso funciona fica muito interessante e, tudo bem, não é uma história simples.
