Fatoração por agrupamento com uma lição interativa

Gerar nova equação

Assim como o nome indica, fatorar por agrupamento significa que você agrupará termos com fatores comuns antes de fatorar. Entre as várias técnicas de fatoração, a fatoração por agrupamento é particularmente útil para trinômios e polinômios de grau superior, onde outros métodos podem ser complicados. Esta lição se aprofunda na fatoração por agrupamento, fornecendo explicações claras e vários exemplos para garantir uma compreensão completa.

O que é fatoração por agrupamento?

Fatorar por agrupamento envolve organizar os termos de um polinômio em grupos que compartilham um fator comum. Uma vez agrupado, cada conjunto de termos é fatorado individualmente e, se feito corretamente, surge um fator binomial comum, permitindo que todo o polinômio seja fatorado completamente.

Mais exemplos explicando fatoração por agrupamento

Vamos explorar vários exemplos para ilustrar o processo de fatoração por agrupamento.

Exemplo 1: Fatorando uma Quadrática Simples

Problema: Fator x² + 5x + 6

Passo 1: Analise o Polinômio

• O polinômio possui três termos, o que o torna um trinômio.
• Para utilizar a fatoração por agrupamento, precisamos expressá-la como um polinômio de quatro termos.

Etapa 2: Expanda o médio prazo

• Encontre dois números que se multiplicam por 1 × 6 = 6 e somam 5.
• 5x = 3x + 2x

Etapa 3: Reescrever o polinômio

x² + 5x + 6 = x² + 3x + 2x + 6

Etapa 4: Termos do grupo

• Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos: (x² + 3x) + (2x + 6)

Etapa 5: Fatore cada grupo

• Fatore o GCF de cada grupo: x(x + 3) + 2(x + 3)

Etapa 6: Fatore o binômio comum

• Ambos os grupos contêm (x + 3): (x + 3)(x + 2)

Conclusão😡² + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

Exemplo 2: Uma quadrática um pouco mais complexa

Problema: Fator x² − 4x − 12

Etapa 1: Analise o Polinômio

• O polinômio é um trinômio com coeficientes e/ou sinais de menos que complicam a fatoração simples.

Etapa 2: Expanda o médio prazo

Etapa 3: Reescreva o polinômio: x² − 4x − 12 = x² − 6x + 2x − 12

Etapa 4: Termos do grupo: (x² − 6x) + (2x − 12)

Etapa 5: Fatore cada grupo: x(x − 6) + 2(x − 6)

Etapa 6: Fatore o binômio comum: (x – 6) (x + 2)

Conclusão😡² − 4x − 12 = (x − 6)(x + 2)

Exemplo 3: Fatoração com Coeficientes

Problema: Fator 3y² + 14 anos + 8

Etapa 1: Analise o Polinômio

• O trinômio tem um coeficiente líder diferente de 1, o que requer um agrupamento cuidadoso.

Etapa 2: Expanda o médio prazo

• Multiplique o coeficiente líder pela constante: 3 × 8 = 24.
• Encontre dois números que se multiplicam por 24 e somam 14: 12 e 2.
• 14 anos = 12 anos + 2 anos

Etapa 3: Reescrever o polinômio: 3 anos² + 14 anos + 8 = 3 anos² + 12 anos + 2 anos + 8

Etapa 4: Termos do grupo: (3 anos² + 12 anos) + (2 anos + 8)

Etapa 5: Fatore cada grupo: 3y(y + 4) +2(y + 4)

Etapa 6: Fatore o binômio comum: (y + 4)(3y + 2)

Conclusão: 3 anos² + 14y + 8 = (y + 4)(3y + 2)

Exemplo 4: Uma quadrática mais complexa

Problema: Fator 11x² − 41x − 12

Etapa 1: Analise o Polinômio

• O trinômio tem coeficientes grandes, tornando a fatoração simples um desafio.

Etapa 2: Multiplique o coeficiente líder e a constante

Etapa 3: Encontre dois números que se multiplicam por -132 e somam por -41

• Pares potenciais:
  …..
  …..
  -44 e 3→ Soma: −41
  -46 e 5
  -45 e 4
  -40 + -1
  -39 + -2
  -38 + -3
  -37 + -4
  …..
  …..
• Par Correto: −44 e 3 já que este é igual a -132 quando multiplicado

Etapa 4: Reescrever o polinômio: 11x² − 41x − 12 = 11x² − 44x + 3x − 12

Etapa 5: Termos do grupo: (11x² − 44x) + (3x − 12)

Etapa 6: Fatore cada grupo: 11x(x − 4)+ 3(x − 4)

Etapa 7: Fatore o binômio comum: (x − 4)(11x + 3)

Conclusão: 11x² − 41x − 12 = (x − 4)(11x + 3)

Armadilhas e dicas comuns ao fatorar por agrupamento

Agrupamento incorreto: Nem todos os agrupamentos levarão a um fator binomial comum. Certifique-se de que os números escolhidos para expandir o médio prazo estejam corretos.

Vários agrupamentos: Às vezes, vários agrupamentos são possíveis. Teste cada um para encontrar aquele que resulta em um fator binomial comum.

Coeficiente líder maior que 1: Quando o coeficiente principal não for 1, multiplique-o pelo termo constante para encontrar fatores adequados para o termo médio.

Verificação: Sempre multiplique os binômios fatorados para verificar a exatidão da fatoração.

Exemplo Avançado: Aplicando a Técnica

Problema: Fator 12x³ + 8x² − 18x − 12

Etapa 1: Analise o Polinômio

• Este é um polinômio de quatro termos, tornando-o adequado para fatoração por agrupamento.

Etapa 2: Termos do grupo: (12x³ + 8x²)+(−18x − 12)

Etapa 3: Fatore cada grupo:

• Primeiro grupo: 12x³ + 8x² = 4x²(3x + 2)
• Segundo grupo: −18x − 12 = −6(3x + 2)

Etapa 4: Fatore o binômio comum:

4x²(3x + 2) − 6(3x + 2) = (3x + 2)(4x² − 6)

Etapa 5: Fatore ainda mais, se possível

• 4x² − 6 = 2(2x² −3)

Formulário Remaining Fatorado: 12x³ + 8x² − 18x − 12 = 2(3x + 2)(2x² −3)