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A identificação de um novo tipo de simetria na mecânica estatística poderia ajudar os cientistas a derivar e interpretar relações fundamentais neste ramo da física.
A simetria é um conceito elementary na física, descrevendo propriedades que permanecem inalteradas sob transformações como rotação e translação. O reconhecimento dessas invariâncias, seja intuitivamente ou por meio de matemática complexa, tem sido elementary no desenvolvimento da mecânica clássica, da teoria da relatividade e da mecânica quântica. Por exemplo, o célebre modelo padrão da física de partículas é construído sobre esses princípios de simetria. Agora Matthias Schmidt e colegas da Universidade de Bayreuth, Alemanha, identificaram um novo tipo de invariância na mecânica estatística (a estrutura teórica que conecta o comportamento coletivo das partículas às suas interações microscópicas) (1). Com esta descoberta, os investigadores oferecem uma perspectiva unificadora sobre relações subtis entre propriedades observáveis e fornecem uma abordagem geral para derivar novas relações.
O conceito de propriedades conservadas ou invariantes no tempo tem raízes na filosofia antiga e foi essential para o surgimento da ciência moderna no século XVII. A conservação de energia tornou-se uma pedra angular da termodinâmica no século XIX, quando os engenheiros descobriram a ligação entre calor e trabalho. Outro tipo importante de invariância é a invariância de Galileu, que afirma que as leis da física são idênticas em todos os referenciais que se movem a uma velocidade constante entre si, resultando em relações específicas entre posições e velocidades em diferentes referenciais. Sua extensão, a invariância de Lorentz, postula que a velocidade da luz é independente do referencial. A relatividade especial de Einstein baseia-se na invariância de Lorentz, enquanto a sua relatividade geral amplia a ideia para todas as transformações de coordenadas. Estes exemplos finais ilustram que a invariância não só fornece relações entre observáveis físicos, mas também pode moldar a nossa compreensão do espaço, do tempo e de outros conceitos básicos.
Em 1918, a matemática Emmy Noether provou que uma quantidade conservada está associada a cada simetria contínua de um sistema físico (2, 3). Por exemplo, a conservação do momento linear ou angular reflete a invariância sob translações ou rotações no espaço, enquanto a conservação de energia reflete a invariância sob translações no tempo. Este teorema aparentemente abstrato remodelou a forma como as leis da física são derivadas e até mesmo como a “matéria” e as “interações” são definidas. Por exemplo, o modelo padrão da física de partículas é uma teoria quântica de campos baseada no conceito de invariância de calibre, o fato de que as leis da física permanecem inalteradas por certas transformações das variáveis usadas para descrever as leis. Nesse caso, as simetrias relevantes não são tão familiares quanto as translações e rotações espaciais, mas orientaram a determinação das quantidades conservadas correspondentes, conforme prescrito pelo teorema de Noether.
Nos últimos anos, Schmidt e colegas colocaram o poder do teorema de Noether em prática para obter resultados no contexto da mecânica estatística de equilíbrio (4–6). Este ramo da física trata das propriedades de conjuntos de configurações microscópicas de um sistema clássico. Um desses conjuntos é o conjunto grande-canônico, no qual o sistema mantém uma temperatura e um potencial químico constantes através da troca de energia e partículas com um reservatório de calor e partículas (Fig. 1esquerda). A mecânica estatística do equilíbrio é a estrutura conceitual relevante para a compreensão das características coletivas de um grande sistema, como seu diagrama de fases e outras propriedades termodinâmicas, com base nas interações microscópicas de suas partículas.
Nesse trabalho anterior, Schmidt e colegas introduziram uma operação infinitesimal de “mudança de espaço de fase”, que transforma as posições e os momentos das partículas de uma maneira específica (Fig. 1certo). Os pesquisadores usaram esta operação e o teorema de Noether para derivar relações exatas para as correlações entre as forças presentes no sistema e as propriedades gerais observáveis. Tais relações podem ser expressas como médias de funções do espaço de fase. Por exemplo, a correlação entre a densidade native das forças externas que atuam no sistema e a densidade native das partículas é igual ao gradiente destas últimas. Os pesquisadores cunharam tais identidades como relações “hiperforçadas”.
No estudo atual, Schmidt e colegas identificaram a operação de mudança de fase-espaço como uma transformação de calibre para estados microscópicos na mecânica estatística de equilíbrio. É importante ressaltar que esta transformação deixa os microestados e todas as funções do espaço de fase correspondentes, incluindo todas as propriedades observáveis, inalteradas. Tal invariância de calibre fornece uma estrutura elegante e eficiente para redesenhar e verificar relações de hiperforça. Crucialmente, também proporciona um quadro consistente para a compreensão destas relações e uma forma sistemática de obter novas relações. Os pesquisadores ilustram seus resultados por meio de simulações numéricas de um sistema específico: hastes rígidas unidimensionais confinadas entre duas paredes rígidas. Ao fazer isso, eles mostram que a invariância de calibre também é preservada quando se usa uma operação de mudança de espaço de fase finita, em vez de infinitesimal.
Conforme observado por Schmidt e colegas, o papel das transformações de calibre também ressoa com outras estratégias para calcular propriedades estatísticas de sistemas baseados em partículas (7–10). Por exemplo, perguntar o que mudaria com um ligeiro ajuste do sistema de coordenadas não é tão diferente de perguntar o que mudaria com um ligeiro movimento das partículas. Por extensão, a mudança na probabilidade de certos estados microscópicos estarem presentes, que depende da sua energia, está relacionada com a mudança de energia associada às partículas em movimento. Por sua vez, esta mudança de probabilidade está correlacionada com as forças que atuam nas partículas porque a força é o gradiente de energia em relação à posição da partícula.
A estrutura de invariância de calibre dos pesquisadores pode levar a novos estimadores baseados em força das propriedades locais desses sistemas, como a densidade native de partículas ou as funções de distribuição radial que quantificam as correlações espaciais entre as partículas. Esses estimadores podem exigir menos configurações microscópicas para atingir a precisão desejada, reduzindo assim o custo computacional e a pegada de carbono correspondente. As direções futuras poderiam incluir a análise de propriedades dinâmicas dentro e fora do equilíbrio dentro da mecânica estatística das trajetórias, em vez de configurações microscópicas. Considerar a invariância de calibre nesse contexto estabeleceria uma conexão mais forte entre a mecânica estatística de equilíbrio e a mecânica quântica. Além do trabalho elementary, as relações derivadas pelos pesquisadores, e aquelas ainda a serem obtidas a partir do framework proposto, poderão dar origem a novas ferramentas computacionais com aplicações em todos os campos nos quais as simulações moleculares já desempenham um papel essencial, da ciência dos materiais à biologia molecular. .
Referências
- J. Müller e outros.“Invariância de calibre da mecânica estatística de equilíbrio,” Física. Rev. 133217101 (2024).
- E. Noether, “Problema de variações invariantes,” Nachr. Gés. Sabe. Göttingen, Math.-Phys. Kl 235 (1918); (tradução para o inglês) “Problemas de variação invariante,” Transp. Teoria Estat. Física. 1186 (1971).
- N. Byers, “E. A descoberta de Noether da profunda conexão entre simetrias e leis de conservação”, arXiv:física/9807044.
- S. Hermann e M. Schmidt, “Teorema de Noether em mecânica estatística,” Comum. Física. 4176 (2021).
- S. Hermann e M. Schmidt, “Por que o teorema de Noether se aplica à mecânica estatística,” J. Física: Condens. Matt. 34213001 (2022).
- S.Robitschko e outros.“Equilíbrio de hiperforça by way of invariância térmica de Noether de qualquer observável,” Comum. Física. 7103 (2024).
- D. Borgis e outros.“Cálculo de funções de distribuição de pares e densidades tridimensionais com princípio de variância reduzida,” Mol. Física. 1113486 (2013).
- D. de las Heras e M. Schmidt, “Melhor do que contar: perfis de densidade de amostragem de força,” Física. Rev. 120218001 (2018).
- B. Rotenberg, “Use a força! Estimadores de variância reduzida para densidades, funções de distribuição radial e mobilidades locais em simulações moleculares,” J. Química. Física. 153150902 (2020).
- A. Purohit e outros.“Métodos de amostragem forçada para distribuições de densidade como instâncias de média mapeada,” Mol. Física. 1172822 (2019).
