Feliz 200º aniversário, teorema de Carnot!

No romance de Kenneth Grahame de 1908 O vento nos salgueirosuma Toupeira conhece um Rato de Água que vive em um rio. O Rato explica como o Rio permeia sua vida: “É irmão e irmã para mim, e tias, e companhia, e comida e bebida, e (naturalmente) lavagem”. Assim como o Rio desempenha muitos papéis na vida do Rato, o teorema de Carnot também desempenha muitos papéis na vida de um termodinamicista.

Nicolas Léonard Sadi Carnot viveu na França durante a virada do século XIX. Seu pai o chamou de Sadi em homenagem ao poeta persa do século XIII Saadi Shirazi. Disse que o pai levou uma vida colorida,¹ trabalhando como matemático, engenheiro e comandante militar para e antes do Império Napoleônico. Sadi Carnot estudou em Paris na École Polytechnique, cujos membros povoam uma “Quem é quem” lista de ciência e engenharia.

À medida que Carnot crescia, a Revolução Industrial estava em pleno andamento. As máquinas a vapor produziam energia confiável em vastas escalas; as fábricas estavam crescendo; e as economias estavam em transformação. A Grã-Bretanha, velha inimiga da França, desfrutava de duas vantagens. Um deles consistia em inventores: os ingleses Thomas Savery e Thomas Newcomen inventaram a máquina a vapor. O escocês James Watt melhorou então o design de Newcomen até torná-lo prático. Em segundo lugar, o norte da Grã-Bretanha continha cargas de carvão que os industriais poderiam extrair para alimentar os seus motores. A França tinha menos carvão. Portanto, se você fosse um engenheiro francês durante a vida de Carnot, deveria ter se preocupado com a eficiência dos motores – com que eficiência os motores usavam o combustível.²

Carnot provou ser uma limitação elementary na eficiência dos motores. Seu teorema governa motores que extraem energia do calor – em vez de, digamos, a energia motriz da água caindo em cascata por uma cachoeira. No argumento de Carnot, uma máquina térmica interage com um ambiente frio e um ambiente quente. (Muitos motores de automóveis se enquadram nesta categoria: o ambiente quente é a queima de gasolina. O ambiente frio é o ar circundante no qual o carro despeja o escapamento.) O calor flui do ambiente quente para o frio. O motor absorve parte do calor e o converte em trabalho. Trabalho é energia coordenada e bem organizada que pode ser aproveitada diretamente para realizar uma tarefa útil, como girar uma turbina. Em contraste, o calor é a energia desordenada de partículas que se movimentam aleatoriamente. Os motores térmicos transformam o calor aleatório em trabalho coordenado.

A eficiência de um motor é o retorno que obtemos com o nosso investimento – o resultado que obtemos, em comparação com o custo que gastamos. O funcionamento de um motor custa o calor que flui entre os ambientes: quanto mais calor flui, mais o ambiente quente esfria e, portanto, menos eficazmente ele poderá servir como ambiente quente no futuro. Uma afirmação análoga diz respeito ao ambiente frio. Portanto, a eficiência de uma máquina térmica é o trabalho produzido dividido pelo calor gasto.

Carnot limitou a eficiência alcançável por cada máquina térmica do tipo descrito acima. Deixar denota a temperatura do ambiente frio; e o ambiente quente. A eficiência não pode exceder . Que fórmula simples para uma classe tão extensa de objetos! O teorema de Carnot rege não apenas muitos motores de automóveis (motores Otto), mas também o Motor Stirling que competia com a máquina a vapor, sua prima, a Motor Ericssone muito mais.

Além da generalidade e da simplicidade, o limite de Carnot possui significados práticos e fundamentais. Limitar a eficiência do motor limita a produção que se pode esperar de uma máquina, fábrica ou economia. O limite também evita que os engenheiros percam tempo sonhando acordados com motores mais eficientes.

Mais fundamentalmente do que estas aplicações, o teorema de Carnot encapsula a segunda lei da termodinâmica. A segunda lei nos ajuda a entender por que o tempo flui em apenas uma direção. E o que é mais profundo ou elementary do que a flecha do tempo? Muitas vezes as pessoas expressam a segunda lei em termos de entropia, mas muitas formulações equivalentes expressam o conteúdo da lei. As formulações compartilham um sabor muitas vezes sinopado com “Você não pode vencer”. Assim como não podemos envelhecer mais jovens, não podemos vencer o limite de Carnot nos motores.

Seria de esperar que nenhum motor alcançasse a maior eficiência imaginável: chamada de eficiência de Carnot. Essa expectativa é incorreta de um modo e correta de outro. Carnot projetou um motor que pudesse operar com sua eficiência homônima: um motor homônimo. Uma máquina de Carnot pode se manifestar como o sistema físico favorito dos termodinamicistas: um gás em uma caixa encimada por um pistão móvel. O gás passa por quatro cursos, ou etapas, para realizar o trabalho. Os cursos formam um ciclo fechado, devolvendo o gás às suas condições iniciais.³

O artista Steampunk Todd Cahill ilustrou lindamente o ciclo de Carnot para meu livro. O gás realiza um trabalho útil porque um bule fica em cima do pistão. Empurrando o pistão para cima, o gás levanta o bule. Você pode encontrar uma descrição mais detalhada da máquina de Carnot no Capítulo 4 do livro, mas recapitularei o ciclo aqui.

O gás se expande durante o curso 1, empurrando o pistão e gerando trabalho. Mantendo contato com o ambiente quente, o gás permanece na temperatura . O gás então se desconecta do ambiente quente. No entanto, o gás continua a expandir-se durante o curso 2, elevando ainda mais o bule. Perdendo energia, o gás esfria. Termina o curso 2 na temperatura .

O gás entra em contato com o ambiente frio durante o curso 3. O pistão empurra o gás, comprimindo-o. Ao remaining do curso, o gás se desconecta do ambiente frio. O pistão continua comprimindo o gás durante o curso 4, realizando mais trabalho no gás. Este trabalho aquece o gás de volta até .

Em resumo, o motor de Carnot começa a aquecer, realiza trabalho, esfria, realiza trabalho e volta a aquecer. O gás realiza mais trabalho no pistão do que o pistão realiza nele. Portanto, o bule sobe (durante os golpes 1 e 2) mais do que desce (durante os golpes 3 e 4).

A que custo, se o motor funcionar com a eficiência de Carnot? O motor não deve desperdiçar calor. Desperdiça-se calor agitando o gás desnecessariamente – expandindo ou compactando-o muito rapidamente. O gás deve permanecer equilíbrioum estado calmo e quiescente. Só é possível manter o gás quiescente executando o ciclo infinitamente devagar. O ciclo levará um tempo infinitamente longo, produzindo potência zero (trabalho por unidade de tempo). Assim, só se pode alcançar a eficiência perfeita em princípio, não na prática, e apenas sacrificando o poder. Novamente, você não pode vencer.

O teorema de Carnot pode soar como o Bisonho da física, cheio de negatividade e depressão. Mas vejo-o como um companheiro e um pano de fundo tão rico, para os termodinamicistas, como o Rio é para o Rato de Água. O teorema de Carnot restringe diversas tecnologias em ambientes práticos. Captura a segunda lei, um princípio elementary. O ciclo de Carnot fornece intuição, servindo como um exemplo simples no qual os termodinamicistas experimentam novas ideias, como motores quânticos. O teorema de Carnot também fornece o que os físicos chamam de verificação de sanidade: sempre que um pesquisador desenvolve uma nova máquina térmica (por exemplo, quântica), ele pode confirmar que a máquina obedece ao teorema de Carnot, para ajudar a confirmar a precisão de sua proposta. O teorema de Carnot também serve como exercício escolar e ponto de inflexão histórico: o teorema iniciou o desenvolvimento da termodinâmica, que continua até hoje.

Portanto, o teorema de Carnot é prático e elementary, pedagógico e de vanguarda – irmão e irmã, e tias, e companhia, e comida e bebida. Eu simplesmente não recomendaria tentar lavar as meias no teorema de Carnot.

¹Para um físico teórico, trabalhar como matemático e engenheiro equivale a levar uma vida colorida.

²Outras pessoas, além dos engenheiros franceses da period da Revolução Industrial, também deveriam se preocupar.

³Um ciclo não retorna os ambientes quentes e frios às suas condições iniciais, conforme explicado acima.