Sobre vários problemas de irracionalidade para a série de Ahmes

28 de novembro de 2024

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Vjeko Kovac e acabei de enviar para o arXiv nosso artigo “Sobre vários problemas de irracionalidade para a série de Ahmes“. Este artigo resolve (ou pelo menos faz progressos parciais) algumas questões em aberto de Erdős e outros sobre a irracionalidade da Série Ahmesque são séries infinitas da forma para alguma sequência crescente ${ak}$ de números naturais. É claro que, uma vez que a maioria dos números reais são irracionais, espera-se que tais séries sejam “genericamente” irracionais, e tornamos esta intuição precisa (tanto no sentido probabilístico como no sentido da categoria de Baire) no nosso artigo. No entanto, muitas vezes é difícil estabelecer a irracionalidade de qualquer série específica. Por exemplo, já é uma questão não trivial resultado de Erdős que a série ${sum_{k=1}^infty frac{1}{2^k-1}}$ é irracional, enquanto a irracionalidade ${sum_{p hbox{prime}} frac{1}{2^p-1}}$ (equivalente a Problema de Erdős #69) permanece aberto, embora muito recentemente Pratt estabeleceu isso condicionalmente na conjectura das tuplas principais de Hardy-Littlewood. Finalmente, a irracionalidade ${soma_nfrac{1}{n!-1}}$ (Problema de Erdős #68) está completamente aberto.

Por outro lado, sabe-se há muito tempo que se a sequência ${ak}$ cresce mais rápido do que ${C^{2^k}}$ para qualquer ${C}$ então a série de Ahmes é necessariamente irracional, basicamente porque as partes fracionárias de ${a_1 pontos a_m sum_{k=1}^infty frac{1}{a_k}}$ podem ser quantidades positivas arbitrariamente pequenas, o que é inconsistente com ${sum_{k=1}^infty frac{1}{a_k}}$ sendo racional. Esta taxa de crescimento é acentuada, como pode ser visto pela iteração da identidade ${frac{1}{n} = frac{1}{n+1} + frac{1}{n(n+1)}}$ para obter uma série racional de Ahmes da taxa de crescimento ${(C+o(1))^{2^k}}$ para qualquer fixo ${C>1}” class=”latex” />. </p> <p>Em nosso artigo mostramos que se <img decoding=$ cresce um pouco mais lentamente do que as sequências acima, no sentido de que ${a_{k+1} = o(a_k^2)}$ por exemplo se ${a_k asymp 2^{(2-varepsilon)^k}}$ para um fixo ${0 < varepsilon < 1}$ então pode-se encontrar uma sequência comparável ${b_k asymp a_k}$ para o qual ${sum_{k=1}^infty frac{1}{b_k}}$ é racional. Isto aborda parcialmente Problema de Erdős #263que perguntou se a sequência ${a_k = 2^{2^k}}$ tinha essa propriedade, e se alguma sequência de crescimento exponencial ou mais lento (mas com ${sum_{k=1}^infty 1/a_k}$ convergente) tinha essa propriedade. Infelizmente quase não perdemos uma solução completa para ambas as partes do problema, uma vez que a condição ${a_{k+1} = o(a_k^2)}$ precisamos apenas falhar em cobrir o caso ${a_k = 2^{2^k}}$ e também não é válido para todas as sequências que vão ao infinito em uma taxa exponencial ou mais lenta.

Também mostramos a seguinte variante; se ${ak}$ tem um crescimento exponencial no sentido de que ${a_{k+1} = O(a_k)}$ com ${sum_{k=1}^infty frac{1}{a_k}}$ convergente, então existem números naturais próximos ${b_k = a_k + O(1)}$ tal que ${sum_{k=1}^infty frac{1}{b_k}}$ é racional. Isso responde à primeira parte do Problema de Erdős #264 que perguntou sobre o caso ${a_k = 2^k}$ embora a segunda parte (que pergunta sobre ${a_k = k!}$ ) está um pouco fora do alcance de nossos métodos. Na verdade, mostramos que a hipótese do crescimento exponencial é melhor possível no sentido de que uma aleatório sequência ${ak}$ que cresce mais rápido do que exponencialmente não tem esta propriedade, este resultado não aborda nenhuma sequência superexponencial específica, como ${a_k = k!}$ embora se aplique a alguma sequência ${ak}$ da forma ${a_k = k! + O(loglog k)}$ .

Nossos métodos também podem lidar com variantes de dimensões superiores nas quais múltiplas séries são simultaneamente definidas como racionais. Talvez o resultado mais surpreendente seja este: podemos encontrar uma sequência crescente ${ak}$ dos números naturais com a propriedade que ${sum_{k=1}^infty frac{1}{a_k + t}}$ é racional para todo racional ${t}$ (excluindo os casos ${t = - a_k}$ para evitar a divisão por zero)! Isto responde (negativamente) a uma questão de Stolarsky Problema de Erdős #266e também reprova Problema de Erdős #265 (e neste último caso pode-se até fazer ${ak}$ crescer o dobro exponencialmente rápido).

Nossos métodos são elementares e evitam quaisquer considerações teóricas dos números, baseando-se principalmente na natureza densa contável dos racionais e em uma técnica de aproximação iterativa. A primeira observação é que a tarefa de representar um determinado número ${q}$ como uma série de Ahmes ${sum_{k=1}^infty frac{1}{a_k}}$ com cada um ${ak}$ deitado em algum intervalo ${Eu_k}$ (com o ${Eu_k}$ disjunto e indo ao infinito rápido o suficiente para garantir a convergência da série), é possível se e somente se a soma infinita

$displaystyle frac{1}{I_1} + frac{1}{I_2} + dots$

conter ${q}$ onde ${frac{1}{I_k} = { frac{1}{a}: a in I_k }}$ . De forma mais geral, para representar uma tupla de números ${(q_t)_{t em T}}$ indexado por algum conjunto ${T}$ de números simultaneamente como ${sum_{k=1}^infty frac{1}{a_k+t}}$ com ${ak_k em I_k}$ isso é o mesmo que pedir a soma infinita

$displaystyle E_1 + E_2 + pontos$

conter ${(q_t)_{t em T}}$ onde agora

$displaystyle E_k = { (frac{1}{a+t})_{t in T}: a in I_k }. \(1)$

Portanto, o principal problema é obter controle sobre essas somas infinitas. Aqui usamos uma observação muito simples:

Proposição 1 (aproximação iterativa) Deixar ${V}$ seja um espaço Banach, deixe ${E_1,E_2,pontos}$ ser conjuntos com cada ${E_k}$ contido na bola de raio ${varepsilon_k>0}” class=”latex” /> em torno da origem para alguns <img decoding=$ com ${sum_{k=1}^infty varepsilon_k}$ convergente, de modo que a soma infinita ${E_1 + E_2 + pontos}$ está bem definido. Suponha que se tenha alguma série convergente ${sum_{k=1}^infty v_k}$ em ${V}$ e conjuntos ${B_1,B_2,pontos}$ convergindo em norma para zero, tal que

$displaystyle v_k + B_k subconjunto E_k + B_{k+1} (2)$

para todos ${k geq 1}$ . Então a soma infinita ${E_1 + E_2 + pontos}$ contém ${sum_{k=1}^infty v_k + B_1}$ .

Informalmente, a condição (2) afirma que ${E_k}$ ocupa todo ${v_k + B_k}$ “na escala ${B_{k+1}}$ “.

Prova: Deixar ${w_1 em B_1}$ . Nossa tarefa é expressar ${sum_{k=1}^infty v_k + w_1}$ como uma série ${sum_{k=1}^infty e_k}$ com ${e_kem E_k}$ . De (2) podemos escrever

$displaystyle sum_{k=1}^infty v_k + w_1 = sum_{k=2}^infty v_k + e_1 + w_2$

para alguns ${e_1 em E_1}$ e ${w_2 em B_2}$ . Iterando isso, podemos encontrar ${e_kem E_k}$ e ${sem_kem B_k}$ tal que

$displaystyle sum_{k=1}^infty v_k + w_1 = sum_{k=m+1}^infty v_k + e_1 + e_2 + dots + e_m + w_{m+1}$

para todos ${m}$ . Enviando ${m rightarrow infty}$ obtemos

$displaystyle sum_{k=1}^infty v_k + w_1 = e_1 + e_2 + dots$

conforme necessário. $Caixa$

Em uma dimensão, conjuntos da forma ${frac{1}{I_k}}$ são densos o suficiente para que a condição (2) pode ser satisfeito em um grande número de situações, levando à maioria dos nossos resultados unidimensionais. Em dimensão superior, os conjuntos ${E_k}$ ficam em curvas em um espaço de alta dimensão e, portanto, não obedecem diretamente às inclusões utilizáveis da forma (2); no entanto, para escolhas adequadas de intervalos ${Eu_k}$ pode-se pegar algumas somas finitas ${E_{k+1} + pontos + E_{k+d}}$ que se tornará denso o suficiente para obter inclusões utilizáveis da forma (2) uma vez ${d}$ atinge a dimensão do espaço ambiente, basicamente graças ao teorema da função inversa (e às curvaturas que não desaparecem da curva em questão). Para o problema de Stolarsky, que é um problema de dimensão infinita, verifica-se que é possível modificar esta abordagem deixando ${d}$ crescer lentamente até o infinito com ${k}$ .