Números aproximados entre primos consecutivos

11 de agosto de 2025

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Primeiras coisas primeiro: devido a uma suspensão abrupta do financiamento da NSF para minha Universidade de origem da UCLA, o Instituto de Matemática Pura e Aplicada (que havia sido aprovada preliminarmente para uma concessão da NSF de cinco anos para administrar o instituto) é Atualmente, captação de recursos para garantir a continuidade de operações durante a suspensão, com o objetivo de arrecadar US $ 500.000. Doações podem ser feitas Nesta página. Como diretor de projetos especiais da IPAM, sou grato pelo apoio (ethical e financeiro) que já recebemos nos últimos dias, mas ainda estamos aquém do nosso objetivo de captação de recursos.

De volta à matemática. Ayla Gafni E acabei de enviar para o Arxiv, o artigo “Números aproximados entre primos consecutivos“. Neste artigo, resolvemos um Pergunta de Erdös Em relação aos números aproximados entre lacunas consecutivas e com a assistência dos cálculos da teoria da peneira moderna, obtemos de fato assintóticos bastante precisos para o problema. (Como nota lateral, esta pesquisa foi apoiada pela minha concessão pessoal da NSF, que também está atualmente suspensa; sou grato a doações recentes ao meu próprio fundo de pesquisa que me ajudaram a concluir esta pesquisa.)

Definir a Prime Hole ser um intervalo entre primos consecutivos. Dizemos que uma lacuna principal contém um número difícil Se houver um número inteiro ${m in (p_n, p_ {n+1})}$ cujo menor fator principal é pelo menos o comprimento ${p_ {n+1} -p_n}$ da lacuna. Por exemplo, a lacuna principal ${(3,5)}$ contém o número aproximado ${4}$ mas a lacuna principal ${(7,11)}$ não (todos os números inteiros entre ${7}$ e ${11}$ tem um fator principal menor que ${4}$ ). Os primeiros ${n}$ para o qual o ${n^ mathrm {th}}$ Prime Hole contém um número difícil são

$DisplayStyle 2, 3, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 20, Dots.$

Numericamente, a proporção de ${n}$ para o qual o ${n^ mathrm {th}}$ O Prime Hole não contém um número difícil decair lentamente como ${n}$ aumenta:

Números aproximados entre primos consecutivos

Erdös inicialmente pensou que quase muitas lacunas primárias deveriam conter um número difícil, mas mudou de idéia, De acordo com a seguinte citação:

… Agora tenho certeza de que isso não é verdade e eu “quase” tenho um contra -exemplo. Pillai e Szekeres observaram que para cada ${t leq 16}$ um conjunto de ${t}$ Os números inteiros consecutivos sempre contêm um que é relativamente primitivo para os outros. Isso é falso para ${t = 17}$ o menor contra -exemplo ser ${2184, 2185, Dots, 2200}$ . Considere agora as duas progressões aritméticas ${2183 + D CDOT 2 CDOT 3 CDOT 5 CDOT 7 CDOT 11 CDOT 13}$ e ${2201 + D CDOT 2 CDOT 3 CDOT 5 CDOT 7 CDOT 11 CDOT 13}$ . Certamente haverá infinitamente muitos valores de ${d}$ para o qual as progressões representam simultaneamente os primos; Isso segue imediatamente da hipótese H de Schinzel, mas não pode ser provado, no momento. Esses primos são consecutivos e dão o contra -exemplo necessário. Espero que essa situação seja bastante excepcional e que os números inteiros ${k}$ para o qual não há ${m}$ satisfatório ${p_k <m <p_ {k+1}}$ e ${p (m)> p_ {ok+1} – p_k}” class=”latex” /> ter densidade <img decoding=$ .

De fato, a observação de Erdös pode ser simplificada: qualquer par de prima prima ${p_ {n+1} = p_n+4}$ para ${p_n> 3}” class=”latex” /> (dos quais <img decoding=$ é o primeiro exemplo) produzirá uma lacuna primordial que não contém números aproximados.

A última questão de Erdös é Listado como Problema #682 no Thomas Bloom Website de Problemas Erdös. Neste artigo, respondemos à pergunta de Erdös e, de fato, damos um limite bastante preciso para o número de contra -exemplos:

Teorema 1 (Erdos #682) Para ${X> 2}” class=”latex” />deixar <img decoding=$ seja o número de lacunas principais ${(p_n, p_ {n+1})}$ com ${p_n in (x, 2x)}$ que não contêm um número aproximado. Então

$displayStyle n (x) ll frac {x} { log^2 x}. (1)$

Assumindo a conjectura de Dickson – Hardy – Littlewood Prime

$displayStyle n (x) sim c frac {x} { log^2 x} (2)$

para alguns (explicitamente descrevebidos) constantes ${c> 0}” class=”latex” />. </p></blockquote> <p>Na verdade, acreditamos que <img decoding=$ embora a fórmula que temos que calcular ${c}$ converge muito lentamente. Isso é (fracamente) apoiado por evidências numéricas:

Embora muitas perguntas sobre lacunas primárias permaneçam abertas, a teoria dos números aproximados é muito melhor compreendida, graças às ferramentas teóricas da peneira moderna, como o Lema basic da teoria da peneira. A idéia principal é enquadrar o problema em termos de contar o número de números aproximados em intervalos curtos ${(x, x+h)}$ onde ${x}$ faixas em algum intervalo diádico ${(X, 2x)}$ e ${H}$ é uma quantidade muito menor, como ${H = log^ alpha x}$ para alguns ${0 < alpha <1}$ . Aqui, é preciso ajustar a definição de “áspero” para significar “nenhum fator primário menor que ${z}$ ”Para algum intermediário ${z}$ (por exemplo, ${z = exp ( log^ beta x)}$ para alguns ${0 < beta < alpha}$ acaba sendo uma escolha razoável). Esses problemas são muito análogos ao problema extremamente bem estudado de contar primos Em intervalos curtos, mas pode -se fazer mais progressos sem precisar de conjecturas poderosas, como a conjectura resistente de tuplas de madeira. Em specific, devido ao lema basic da teoria da peneira, pode -se calcular a média e a variação (ou seja, os dois primeiros momentos) de tais contagens com alta precisão, usando em specific alguns cálculos sobre os valores médios da série singular que remontam pelo menos para o Trabalho de Montgomery de 1970. Esta análise do segundo momento acaba sendo suficiente (depois de otimizar todos os parâmetros) para responder ao problema de Erdös com um limite mais fraco

$displayStyle n (x) ll frac {x} { log^{4/3-o (1)} x}.$

Para fazer melhor, precisamos trabalhar com momentos mais altos. O lema basic também funciona nesse cenário; agora se precisa de assintóticos precisos para o valor médio da série singular de ${k}$ -Tuplos, mas isso foi felizmente elaborado (em mais ou menos exatamente o formato que precisávamos) por Montgomery e Soundararajan Em 2004. O foco deles estava estabelecendo um teorema do limite central para a distribuição de primos em intervalos curtos (condicional à conjectura das tuplas primitivas), mas sua análise pode ser adaptada para mostrar (incondicionalmente) boa concentração de resultados de medidas para números aproximados em intervalos curtos. Uma aplicação direta de suas estimativas melhora o limite superior ${N (x)}$ para

$displayStyle n (x) ll frac {x} { log^{2-o (1)} x}$

E alguns ajustes mais cuidadosos de parâmetros permitem remover o ${o (1)}$ erro. Esta última análise revela que, de fato, a contribuição dominante para ${N (x)}$ virá com lacunas primárias de comprimento limitado, do qual nosso entendimento ainda é relativamente ruim (foi apenas em 2014 que Yitang Zhang mostrou que infinitamente muitas dessas lacunas existem). Nesse ponto, finalmente temos que recorrer (uma forma do tipo Dickson de) a conjectura de tuplas Prime para obter o assintótico (2).