Como você determina a mudança na entropia para um sistema fechado sujeito a um processo irreversível?
Aqui estão algumas perguntas típicas que obtemos em fóruns de física de membros confusos:
Se eu tenho um processo adiabático irreversível, a mudança na entropia não deve ser zero, pois Q/T é zero?
Desde entropia Uma função do estado, a mudança na entropia para um processo adiabático irreversível entre um estado de equilíbrio inicial e ultimate é o mesmo que, para um processo adiabático reversível entre os mesmos dois estados de equilíbrio termodinâmico?
Meu objetivo neste artigo é oferecer minha receita de livro de receitas para determinar a mudança na entropia para um processo irreversível em um sistema fechado e, em seguida, fornecer alguns exemplos de como essa receita pode ser aplicada.
A receita de mudança de entropia
Aplique a primeira lei da termodinâmica ao processo irreversível para determinar o estado ultimate de equilíbrio termodinâmico do sistema
Esqueça o processo irreversível actual (inteiramente)e foco exclusivamente nos estados de equilíbrio termodinâmico inicial e ultimate. Este é o passo mais importante.
Devive um caminho reversível entre os mesmos dois estados de equilíbrio termodinâmico (pontos finais). Esse caminho reversível não precisa ter nenhuma semelhança com o caminho de processo irreversível actual. Por exemplo, mesmo que o processo irreversível actual seja adiabático, o caminho reversível que você concebe não precisa ser adiabático. Você pode até separar várias partes do sistema uma da outra e sujeitar cada uma delas a um caminho reversível diferente, desde que todos acabem em seus estados finais corretos. Além disso, há um número infinito de caminhos de processo reversíveis que podem levá -lo do estado inicial para o estado ultimate, e todos eles darão o mesmo valor para a mudança na entropia. Portanto, tente criar um caminho simples de trabalhar com (ou seja, para o qual é fácil aplicar a etapa 4).
Para o caminho reversível selecionado, avalie a integral do DQ/T do estado inicial para o estado ultimate, onde o DQ é a quantidade incremental de calor adicionada ao sistema ao longo da sequência de alterações compreendendo o caminho reversível. Esta será a sua mudança de entropia S. isto é, ## delta s = int frac {dq_ {Rev}} {t} ##, onde o subscrito Rev refere -se ao caminho reversível.
Exemplo 1Equilibração térmica de dois sólidos em contato
Considere dois objetos sólidos idênticos, cada uma com massa de massa e capacidade de calor C. Inicialmente, os dois sólidos estão em temperaturas ## t_h ## e ## t_c ##. Os objetos são então trazidos para contato térmico e permitidos para equilibrar espontaneamente.
Etapa 1:Aplique a primeira lei da termodinâmica para estabelecer o estado de equilíbrio ultimate
Não há calor transferido e nenhum trabalho realizado no sistema combinado de dois objetos. Portanto, a mudança na energia interna do sistema ## delta u ## é igual a zero: $$ delta u = cm (t_f-t_h)+cm (t_f-t_c) = 0 $$ onde ## t_f ## é A temperatura ultimate de equilíbrio. Resolvendo para ## t_f ## dá: $$ t_f = frac {(t_h+t_c)} {2} $$
Etapa 2:Concentre -se exclusivamente nos estados de equilíbrio termodinâmico inicial e ultimate do sistema.
Estado 1: Objeto 1 em ## T_H ##. Objeto 2 em ## T_C ##
Estado 2: Objetos 1 e 2 em ## (t_h+t_c)/2 ##.
Etapa 3:Devive um processo reversível para levar o sistema do seu estado inicial de equilíbrio termodinâmico ultimate.
A partir do estado 1, primeiro separamos os dois objetos. Em seguida, pegamos o objeto 1 e o contatamos com uma sequência contínua de reservatórios de temperatura constantes, executando (muito gradualmente) a partir de sua temperatura inicial ## T_H ## até sua temperatura ultimate ## (t_h+t_c)/2 ##. Da mesma forma, para o objeto 2, entramos em contato com uma sequência contínua de reservatórios de temperatura constante, executando (muito gradualmente) de sua temperatura inicial ## T_C ## até sua temperatura ultimate ## (T_H+T_C)/2 ##.
Etapa 4:Para o caminho reversível selecionado, avalie a integral do DQ/T do estado inicial para o estado ultimate. Esta será a mudança de entropia.
Para a remoção muito gradual de aquecer Do objeto mais quente ao longo do caminho reversível identificado, temos $$ ds_1 = frac {dq} {t} = frac {mcdt} {t} $$ integrando essa equação entre os estados iniciais e finais do objeto 1, nós Obtenha: $$ delta s_1 = mc ln { frac {(t_h+t_c)} {2t_h}} $$ da mesma forma, para o objeto 2, temos: $$ delta s_2 = mc ln { frac {(( T_H+T_C)} {2T_C}} $$
Portanto, se adicionarmos as mudanças nas entropias dos dois objetos, obtemos a mudança geral na entropia do sistema combinado: $$ delta s = 2mc ln { esquerda ( frac {(t_h+t_c)/ 2} { sqrt {t_ht_c}} proper)} $$
Observe que o termo entre colchetes nesta equação é a média aritmética das duas temperaturas iniciais divididas por sua média geométrica. Matematicamente, essa proporção é sempre> 1, portanto, o log pure da proporção é> 0, e a mudança de entropia para o nosso processo espontâneo de equilíbrio térmico é positivo.
Exemplo 2Expansão irreversível adiabática de um gás supreme
Considere a expansão irreversível do gás supreme em um cilindro adiabático com um pistão sem massa e sem atrito. O quantity, pressão e temperatura do gás são inicialmente ## v_0 ##, ## p_0 ## e ## t_0 ##, respectivamente. ## p_0 ## também é a pressão aplicada externamente ao pistão no estado inicial do sistema: ## p_ {ext} = p_0 ##. Em um certo instante de tempo, diminuímos de repente a força por unidade de área aplicada externamente ao pistão a um (significativamente menor) novo valor ## p_ {ext} = p_f ## e faz com que ele permaneça neste novo valor até o sistema reequilibra. Nesse cenário, o gás se expandirá de maneira muito rápida e irreversível para o estado ultimate.
Etapa 1:Aplique a primeira lei da termodinâmica para estabelecer o estado ultimate de equilíbrio do sistema.
Para um gás supreme, a primeira equação da lei neste sistema reduz para: $$ delta u = nc_v (t_f-t_0) =-p_f (v_f-v_0) tag {1} $$ onde n é o número de moles de gás, ## C_V ## é sua capacidade de calor em quantity constante e o subscrito F refere -se ao estado ultimate de equilíbrio termodinâmico. A partir da lei de gás supreme, $$ v_0 = frac {nrt_0} {p_0} tag {2} $$ e $$ v_f = frac {nrt_f} {p_f} tag {3} $$ se substituirmos as eqns. 2 e 3 na Eqn. 1, obtemos: $$ c_v (t_f-t_0) =-rleft (t_f- frac {p_f} {p_0} t_0right) tag {4} $$ A solução para esta equação para a temperatura ultimate é dada por: $$ T_f = esquerda (1- frac {(gamma -1)} {gamma} frac {(p_0-p_f)} {p_0} direita) t_0tag {5} $$ onde $$ gamma = frac {c_p} {c_v } = frac {(c_v+r)} {c_v} tag {6} $$ O quantity ultimate pode ser determinado aplicando a lei supreme de gás: $$ v_f = frac {p_0} {p_f} frac {t_f} {T_0} v_0 = frac {p_0} {p_f} esquerda (1- frac {(gamma -1)} {gamma} frac {(p_0-p_f)} {p_0}) v_0tag {7} $$
Etapa 2:Concentre -se exclusivamente nos estados de equilíbrio termodinâmico inicial e ultimate do sistema.
Estado 1: gás supreme em ## p_0 ##, ## t_0 ## e ## v_0 ##
Estado 2: gás supreme em ## p_f ##, ## t = t_f = esquerda (1- frac {(gamma -1)} {gamma} frac {(p_0-p_f)} {p_0} direita) t_0# #, e ## v = v_f = frac {p_0} {p_f} esquerda (1- frac {(gamma -1)} {gamma} frac {(p_0-p_f)} {p_0}) v_0 ##
Etapa 3:Devive um processo reversível para levar o sistema do seu estado inicial de equilíbrio termodinâmico ultimate.
A partir do estado 1, altere reversivelmente a temperatura do gás em quantity constante ## v_0 ## a partir da temperatura inicial ## T_0 ## até a temperatura ultimate ## t_f ##. Isso pode ser realizado usando o mesmo tipo de abordagem empregada para alterar as temperaturas dos objetos no Exemplo 1. Para essa alteração reversível, temos $$ du = nc_vdt = dq_ {Rev} $$.
Quando o gás estiver no quantity ## v_0 ## e temperatura ## t_f ##, expanda o gás isotérmico e reversivelmente para o novo quantity ## v_f ##. Isso pode ser realizado reduzindo gradualmente a pressão no pistão (enquanto simultaneamente adiciona calor de um banho de temperatura constante para manter a temperatura em ## t_f ##) até que o quantity ultimate ## v_f ## seja atingido. Durante esta segunda parte do esquema de processo reversível, du = 0 e $$ dq_ {rev} = dw = pdv = frac {nrt_f} {v} dv $$
Etapa 4:Para o caminho reversível selecionado, avalie a integral do DQ/T do estado inicial para o estado ultimate. Esta será a mudança de entropia.
Se avaliarmos a integral de DQ/T para a combinação de alterações reversíveis do processo descritas na Etapa 3, obtemos: $$ delta s = nc_vln (t_f/t_0)+nrln (v_f/v_0) tag {8} $$ substituição de Eqns. 2-7 na Eqn. 8 nos permite expressar ## delta s ## apenas em termos das condições iniciais e a proporção da pressão ultimate e a pressão inicial ## p_f/p_0 ## (após considerável manipulação matemática): $$ frac {t_0delta s } {P_0v_0} = frac {gamma} {(gamma-1)} ln {esquerda (1- frac {(gama -1)} {gama} frac {(p_0-p_f)} {p_0} direita)} -ln {esquerda (1- frac {(p_0-p_f)} {p_0} direita)} tag {9} $$ a alteração da entropia calculada a partir da eqn. 9 Para o nosso processo irreversível, é sempre positivo, independentemente de ## p_fP_0 ##. Portanto, a equação se aplica não apenas a expansões irreversíveis, mas também a compressões irreversíveis. Podemos ter uma idéia melhor de como isso se desenrola se expandirmos o lado direito da Eqn. 9 Em uma série Taylor em ## frac {(p_0-p_f)} {p_0} ##. O termo linear na expansão cancela e o primeiro termo diferente de zero é o termo quadrático: $$ frac {t_0Delta S} {p_0v_0} aprox frac {1} {2gamma} esquerda ( frac {(p_0-p_f )} {P_0} direita)^2+… tag {10} $$ o termo entre colchetes na eqn. 10 é definido positivo, independentemente dos valores de ## p_0 ## e ## p_f ##.
Exemplo 3Gás e vácuo em câmara dividida
Considere uma câmara de quantity isolada rígida ## 2V_0 ## dividida ao meio com uma barreira. Na metade da câmara, há um gás supreme na temperatura ## t_0 ## e pressão ## p_0 ##. Na outra metade da câmara, há um vácuo. De repente, a barreira é removida e o sistema é autorizado a reequilibrar espontaneamente.
Etapa 1:Aplique a primeira lei da termodinâmica para estabelecer o estado de equilíbrio ultimate
Como a câmara é rígida e isolada, nenhum trabalho W é realizado no conteúdo e nenhum calor q é transferido para o conteúdo. Assim, desde a primeira lei da termodinâmica, $$ delta u = nc_v (t_f-t_0) = 0 $$ isso significa que a temperatura ultimate do gás ## t_f ## é igual à sua temperatura inicial ## t_0 ##. $$ t_f = t_0 $$ da lei supreme de gás segue -se que, como o quantity dobrou, a pressão diminuiu pela metade: $$ p_f = p_0/2 $$
Etapa 2:Concentre -se exclusivamente nos estados de equilíbrio termodinâmico inicial e ultimate do sistema.
Estado 1: gás supreme em ## p_0 ##, ## v_0 ## e ## t_0 ##
Estado 2: gás supreme em ## p_0/2 ##, ## 2v_0 ## e ## t_0 ##
Etapa 3:Devive um processo reversível para levar o sistema do seu estado inicial de equilíbrio termodinâmico ultimate.
Remova o gás inicial da câmara rígida e isolada e coloque -o em um cilindro do mesmo quantity inicial com um pistão sem atrito sem massa. Faça com que o gás expanda isotérmica e reversivelmente colocando o cilindro em contato com um banho de temperatura constante em ## t_0 ##, e movendo o pistão para fora muito gradualmente até que o quantity ultimate seja ## 2V_0 ##. Nesta expansão reversível isotérmica, du = 0 e $$ dq_ {Rev} = pdv = frac {nrt_0} {v} dv $$
Etapa 4:Para o caminho reversível selecionado, avalie a integral do DQ/T do estado inicial para o estado ultimate. Esta será a mudança de entropia.
Se avaliarmos a integral de DQ/T para o processo reversível descrito na Etapa 3, obtemos: $$ delta s = nrln (v_f/v_0) = nrln (2) = frac {p_0v_0} {t_0} ln (2) $$ Essa mudança de entropia é, é claro,> 0.
