O que são Infinitesimais – Versão Simples

Estarei escrevendo outro artigo sobre insights usando cálculo como complemento de um curso de Álgebra 2 e Trigonometria dos EUA. Um tanto irônico – Cálculo para se preparar para fazer Cálculo. Aqueles que seguiram esta sequência estarão bem preparados para estudar uma Cálculo baseado em infinitesimal livro didático. Muitos estão disponíveis a baixo custo na Amazon, mas aqui sugiro um gratuito (a versão em papel está disponível a baixo custo na Amazon) que usa uma abordagem intuitiva para infinitesimais – Full Frontal Calculus:

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Outro bom é o Calculus Made Even Simpler, disponível a baixo custo na Amazon.

Os hiperracionais

Os hiperracionais são todas as sequências de números racionais. Dois hiperracionais, A e B, são iguais se An = Bn, exceto por um número finito de termos. No entanto, os hiperracionais, a menos que sejam especificamente referidos como sequências, são considerados um único objeto. É o que chamamos de Urelement. Faz parte da teoria formal dos conjuntos que o leitor pode investigar se desejar – há um artigo na Wikipédia sobre isso. Quando duas sequências são iguais, elas são consideradas o mesmo objeto. Freqüentemente, isso é expresso dizendo que eles pertencem à mesma classe de equivalência e que a classe de equivalência é considerada um único objeto. Mas, sendo um artigo para iniciantes, não quero me aprofundar mais na teoria dos conjuntos, então usarei apenas a ideia de um Urelement que é fácil de entender. A < B é definido como Am < Bm, exceto por um número finito de termos. Da mesma forma, para A > B. Observe que existem sequências patológicas como 1 0 1 0 1 0 que não são =, > ou menores que 1. Exigiremos que todas as sequências sejam =, >, < todas racionais. Caso contrário, será igual a zero.

Se F(X) é uma função racional definida nos racionais, então isso pode ser facilmente estendido aos hiperracionais por F(X) = F(Xn). A + B = An + Bn, A*B = An*Bn. A divisão não será definida por questões de divisão por zero; em vez disso, 1/X é definido como a extensão 1/Xn e descarta termos que são 1/0. Se isso não funcionar, então 1/X é indefinido. Se X é um número racional, então a sequência Xn = XXX …… é hiperracional do número racional X, ou seja, todos os termos são o número racional X. B também é racional se, de acordo com a definição de igualdade acima, eles forem iguais.

Mostraremos que os hiperracionais contêm infinitesimais reais. Seja X qualquer número racional positivo. Seja B o hiperracional Bn = 1/n. Então, independentemente de qual seja o valor de X, um N pode ser encontrado tal que 1/n < X para qualquer n > N. Portanto, pela definição de < nos hiperracionais, |B|

Além disso, temos infinitesimais menores que outros infinitesimais, por exemplo, 1/n^2 < 1/n, exceto quando n = 1.

Observe que se aeb são infinitesimais, a+b e a*b também o são. Para ver isso; se X é qualquer racional positivo |a|

Os hiperracionais também contêm números infinitos maiores que qualquer número racional. Seja A a sequência An=n. Se X for qualquer número racional, existe um N tal para todo n > N, então An > X. Novamente, temos números infinitamente grandes maiores do que outros números infinitamente grandes porque, exceto para n = 1, n ^ 2 > n. Par 1 + n > n para todo n.

Se um hiperracional não for infinitesimal ou infinitamente grande, ele é chamado de finito ou limitado. Formalmente são hiperracionais, X, tais que |X| < Q para algum Q racional.

Além disso, observe se a é um infinitesimal positivo a/a = 1. 1/a não pode ser infinitesimal porque então a/a seria infinitesimal. Da mesma forma, não pode ser finito porque haveria um N, |1/a|

Números reais

Como artigo para iniciantes, o leitor provavelmente não viu definições precisas de inteiros, racionais e números reais:

http://www.math.uni-konstanz.de/~krapp/analysis/Presentation_Contruction_of_the_real_numbers_1

O texto acima é mais avançado do que o público que eu tinha em mente para este artigo. Ele usa termos técnicos que um iniciante provavelmente não conheceria. No entanto, não consegui localizar um no nível apropriado. Um iniciante, entretanto, provavelmente seria capaz de lê-lo e entender a essência geral. Percebo que precisarei fazer um artigo de insights em um nível mais apropriado.

Como pode ser visto, existem várias maneiras de definir números reais. Os métodos de construção de hiperracionais finitos e Cortes de Dedekind serão utilizados aqui.

Um corte de Dedekind é uma partição dos números racionais em dois conjuntos A e B, de modo que todos os elementos de A são menores que todos os elementos de B e A não contém nenhum elemento maior. Qualquer número actual R é definido por um corte de Dedekind. Na verdade, como B são todos os racionais que não estão em A, um Corte de Dedekind é definido apenas por A. Um conjunto A de racionais que não possui o maior elemento e todo elemento que não está em A é maior do que qualquer elemento em A outline um Corte de Dedekind e um número actual R. Seja X qualquer hiperracional finito. Seja A o conjunto de racionais < X. A é um corte de Dedekind. Portanto, X outline como um número actual R. Se Y é infinitamente próximo de X, então o conjunto de racionais

Os Hiperreais

Agora que sabemos o que são reais, podemos estender hiperracionais a hiperreais, ou seja, todas as sequências de reais. Os hiperracionais são um subconjunto adequado dos hiperreais. Como antes, o número actual A é a sequência An = AAAA…………… Semelhante aos hiperracionais se F(X) for uma função definida nos reais então isso pode ser facilmente estendido aos hiperreais por F(X) = F(Xn ). A + B = An + Bn. A*B = An*Bn. Dois hiperreais, A e B, são iguais se An = Bn, exceto por um número finito de termos. Como sempre, eles são tratados como um único objeto. Definimos A < B e A > B de forma semelhante, isto é, diferindo apenas por um número finito de termos. A + B = An + Bn. A*B = An*Bn. Temos infinitesimais e números hiperreais infinitamente grandes. Novamente as sequências patológicas são definidas como zero.

Queremos mostrar que se X é um hiperreal finito então X tem um actual infinitamente próximo dele chamado de parte padrão de X, denotado por st(X). Seja A o conjunto de todos os racionais < X. A é um Corte de Dedekind que outline um actual, R. R = st(X). Portanto, qualquer X hiperreal finito é a soma de R + r onde R é um número actual st(X) e r um infinitesimal. r, sendo um infinitesimal pode ser legitimamente descartado quando necessário.

Esta é apenas uma visão geral de um assunto rico. Também escrevi um artigo sobre insights em um nível mais avançado. Este artigo pretende apenas fornecer uma descrição simplificada dos infinitesimais para aqueles interessados ​​em ver como eles são justificados. O artigo mais avançado se aprofunda e também dá uma introdução à análise actual. Este artigo é melhor lido após o artigo Cálculo e Álgebra 2. A versão mais avançada, incluindo uma introdução à análise actual, seria melhor lida depois de ler um texto de cálculo baseado em infinitesimais, como Full Frontal Calculus ou Calculus Made Even Simpler.

Como é aplicado

Esta parte foi retirada do artigo mais avançado. É apresentado aqui para mostrar como ele é usado na prática e como alguns dos argumentos em textos de cálculo infinitesimal podem ser justificados. É instrutivo e divertido examinar os argumentos infinitesimais em um texto de cálculo e ver como os hiper-reais são usados ​​para fazer com que argumentos intuitivos soem enquanto se estuda o texto. Certamente, seria uma boa ideia fazê-lo após a leitura do texto.

Por exemplo d(x^2) = (x+dx)^2 – x^2 = 2xdx + dx^2 = dx*(2x +dx). Mas como dx é menor que qualquer número actual, pode ser desprezado em (2x+dx) para dar simplesmente 2x. d(x^2) = 2xdx ou d(x^2)/dx = 2x.

A definição de derivada é fácil. dy/dx = st((y(x+dx) – y(x))/dx)

A antiderivada de uma função f(x) é simplesmente uma função F(x) tal que dF/dx = f(x). A integral indefinida, ∫f(x)*dx é definida como F(x) + C onde F(x) é uma antiderivada de f(x). Todas as antiderivadas têm a forma F(x) + C onde C é qualquer constante. Não é uma função, mas uma família de funções, cada uma diferindo por uma constante diferente para cada função. Não só isso, mas se F(x) é um membro da família, F(x) + C também o é, onde C é qualquer constante. Todos os membros desta família são antiderivadas de f(x). Esta notação permite a fácil derivação da importante fórmula de mudança de variáveis. ∫f*dy = ∫f*(dy/dx)*dx. É usado frequentemente no cálculo de integrais – ou, para ser mais exato, de antiderivadas.

Aplicação à Área

Sem ter ideia do que é área, a partir da definição de integral indefinida ∫1*dA = ∫dA = A + C onde A é essa coisa chamada área. Fazendo uma mudança de variável ∫dA = ∫(dA/dx)*dx. Seja f(x) = dA/dx. ∫f(x)*dx = A(x) + C. Não temos uma definição de A a partir disso por causa da constante arbitrária C. Mas observe algo interessante. A(b) – A(a) = A(b) + C – (A(a) + C). Agora a constante arbitrária C desapareceu. Isso leva à seguinte definição única da área A entre a e b. Se A(x) é uma antiderivada de uma função f(x) a área entre a e b = A(b) – A(a). É dado um nome especial – a integral definida denotada por ∫(a to b)f(x)dx = A(b) – A(a) onde A(x) é uma antiderivada de f(x). Sabemos, com boa aproximação, que se Δx for pequeno, a área sob f(x) de x a x+Δx é f(x)*Δx. É exato se Δx = 0, mas então a área é zero. f(x)dx pode ser pensado como uma área infinitesimal. Isto significa uma boa aproximação ΔA = f(x)Δx. A aproximação melhora à medida que Δx fica menor. Seria exato quando Δx = 0, exceto por um problema, ΔA = 0. Para contornar isso estendemos ΔA aos hiperreais e da = f(x)dx. Mas dx pode ser negligenciado. Para que possamos pegar nosso bolo e comê-lo. dx é efetivamente zero, então a aproximação é exata, mas não é zero, então dv não é zero. Desta forma, outras coisas como o quantity de rotação podem ser definidas. Se Δx for pequeno, o quantity de rotação em torno de f(x), ΔV, é f(x)^2*Π*Δx com uma boa aproximação, com a aproximação melhorando à medida que Δx fica menor. Para ser exato, Δx precisaria ser zero, mas então ΔV o quantity de rotação é zero. Semelhante à área que queremos que Δx seja efetivamente zero, mas não zero. Estender a fórmula para os hiperreais dV seria dV = f(x)*Π*r^2*dx. ∫dV = ∫f(x)^2*Π*dx e o quantity pode ser calculado. O mesmo com a área de superfície.