Todas as Langlands, o tempo todo

Tentar acompanhar tudo o que acontece na área de matemática do programa de Langlands é uma batalha perdida, pois novas ideias e resultados continuam aparecendo mais rápido do que alguém poderia esperar. Aqui estão vários itens:

• Dennis Gaitsgory foi aqui na Columbia ontem (no Yale no dia anterior). Não creio que nenhuma das palestras tenha sido gravada. Assistir à sua palestra aqui foi bastante útil para obter uma visão geral dos resultados recentemente provados por ele e seus colaboradores e anunciados como uma prova geral da conjectura geométrica não ramificada de Langlands. Para detalhes, consulte os documentos aquique somam quase 1.000 páginas.

  Para uma discussão standard, consulte este artigo na Quanta.

  Para colocar as coisas num contexto mais amplo, pode-se querer dar uma olhada na seção “O que não é feito neste artigo?” seção de o último artigo dos cinco dando a prova. Dá uma lista do que ainda não foi compreendido:

  Langlands geométricas com ramificação Iwahori.
  Langlands geométrico quântico.
  Langlands geométricas locais com ramificação selvagem.
  Langlands geométricas globais com ramificação selvagem.
  Langlands geométricos restritos para feixes ℓ-ádicos (para curvas em característica positiva).
  Langlands geométricos para curvas de Fargues-Fontaine.

  Apenas o último deles aborda o caso unique do campo numérico de Langlands, que é um assunto muito mais amplo do que Langlands geométrico.

• Altamente recomendados para o público em geral são os vídeos de Curt Jaimungal – Edward Frenkel sobre a história de Langlands. O primeiro é aquio segundo acaba de aparecer aquie há uma terceira parte em andamento. Uma coisa assustadora sobre tudo isso é que Frenkel e colaboradores estão trabalhando em uma elaboração de Langlands geométricas em outra direção (“Langlands geométricas analíticas”), o que é mais uma vez algo diferente do que está no artigo de mil páginas.
• Aqui na Columbia, Avi Zeff é trabalhando do seu jeito através da proposta de Scholze para uma versão de Langlands locais reais como Langlands geométricas no twistor P¹usando técnicas recentemente desenvolvidas envolvendo pilhas analíticas desenvolvidas por Clausen e Scholze. Esta é uma versão arquimediana do trabalho de Fargues-Scholze sobre Langlands locais em primos não arquimedianos que usa ideias de Langlands geométricas, mas na curva de Fargues-Fontaine. Juntos, eles fornecem uma versão geométrica de Langlands do programa Langlands de campo numérico native, sem nenhuma imagem geométrica world correspondente ainda conhecida.
• Acompanhar tudo isso parece assustador. Para piorar as coisas, Scholze continua apresentando novas ideias que abrangem terrenos cada vez mais amplos. Este semestre em Bonn, ele está realizando um seminário sobre Motivos de Berkovich e geometrização motívica de Langlands locaisprometendo dois novos artigos (“Motivos de Berkovich” e “Geometrização de Langlands locais, motivicamente”), em preparação.

  Como atividade paralela, ele vem trabalhando o “anel Habiro” de um campo numéricoencontrando séries de potências que surgiram no estudo da teoria complexa de Chern-Simons e da conjectura do quantity. Segundo Scholze:

  Minha esperança sempre foi que essa deformação q da cohomologia de de Rham formasse uma ponte entre os anéis de período da teoria p-ádica de Hodge e os anéis de período da teoria complexa de Hodge. As séries de potências de Garoufalidis-Zagier têm propriedades milagrosas tanto p-adicamente quanto sobre os números complexos, aparentemente relacionadas à geometria esperada em ambos os casos (a curva de Fargues-Fontaine, resp. o twistor-P¹), e um dos objetivos deste curso é entender melhor o que está acontecendo.

• Finalmente, se você quiser ficar por dentro das novidades, Ahkil Mathew tem um canal no Youtube com vídeos de palestras fugir de Chicago.