Tudo sobre as equações de campo de Einstein

Definição/Resumo

As Equações de Campo de Einstein (EFE) são um conjunto de dez equações diferenciais inter-relacionadas que formam o núcleo da teoria geral da relatividade de Einstein. Essas equações descrevem como a matéria e a energia determinam a curvatura do espaço-tempo, fornecendo uma estrutura matemática para relacionar a geometria do espaço-tempo ao seu conteúdo de energia-matéria.

Matematicamente, a EFE relaciona o tensor de curvatura de Ricci (itex)R_{munu}(/itex), o tensor métrico (itex)g_{munu}(/itex) e o tensor tensão-energia (itex )T_{munu}(/itex), incorporando a constante de Einstein (itex)frac{8pi G}{c^4}(/itex).

Fatos rápidos

• A grande revelação de Einstein: Albert Einstein apresentou pela primeira vez as Equações de Campo de Einstein em 1915. Notavelmente, elas resumem a ideia de que o espaço-tempo não é um estágio passivo, mas interage dinamicamente com a energia e a matéria.
• 10 equações em uma: Embora falemos sobre a EFE como uma equação única, na verdade é um conjunto de 10 equações diferenciais parciais não lineares acopladas. Estes descrevem como a geometria do espaço-tempo se relaciona com a energia e o momento.
• Mais simples em simetria: Muitas soluções famosas, como a solução de Schwarzschild (buracos negros) ou as equações de Friedmann (cosmologia), funcionam porque simplificam as simetrias no espaço-tempo, reduzindo o problema de 10 equações para outras administráveis.
• Números minúsculos, grandes efeitos: A constante cosmológica ((itex)Lambda(/itex)) na EFE, originalmente introduzida por Einstein para permitir um universo estático, é estimada em menos que (itex)10^{-35} , textual content{s}^ {-2}(/itex). É pequeno, mas impulsiona o expansão acelerada do universo!
• Limite de campo fraco: A EFE inclui a lei da gravidade de Newton como um caso especial! Em campos gravitacionais fracos, a EFE reduz-se ao acquainted (itex)nabla^2 Phi = 4pi G rho(/itex) da física clássica.
• Ondas Gravitacionais: A EFE prevê a existência de ondas gravitacionais – ondulações no espaço-tempo causadas pela aceleração de objetos massivos. Essas ondas foram detectadas diretamente em 2015, exatamente 100 anos após a estreia da EFE!
• Buracos Negros e além: A solução de Schwarzschild, uma das primeiras soluções para a EFE, previu buracos negros – objetos tão densos que nem mesmo a luz consegue escapar à sua gravidade.
• Equação com papel de estrela: A EFE é tão icónica que é frequentemente vista como a “face” da relatividade geral. Já foi impresso em camisetas, canecas e pôsteres, tornando-se um símbolo da física moderna.
• Supercomputação necessária: Resolver a EFE para cenários astrofísicos realistas, como fusões de buracos negros binários, é tão complexo que requer supercomputadores e técnicas de relatividade numérica.
• Das Estrelas ao Universo: A EFE não descreve apenas fenómenos locais como buracos negros e estrelas de neutrões, mas também a estrutura e evolução em grande escala de todo o universo, formando a base da cosmologia moderna.

Equações

Versão curta (usando o tensor de Einstein:

(itex)G_{munu}(/itex))

(tex) G_{munu} = frac{8pi G}{c^4} T_{munu} (/tex)

Simplificado em Unidades Cosmológicas

(itex)G = c = 1(/itex)

(tex) G_{munu} = 8pi T_{munu} (/tex)

Versão longa (usando tensor de curvatura de Ricci e curvatura escalar)

(itex)R_{munu}(/itex) (itex)R = textual content{Tr}(R_{munu})(/itex))

(tex) R_{munu} – frac{1}{2} R g_{munu} = frac{8pi G}{c^4} T_{munu} (/ texto)

Explicação estendida

Unidades cosmológicas:

A cosmologia freqüentemente usa unidades naturalizadas onde (itex)G = c = 1(/itex). Essas unidades simplificam as equações, fazendo com que fatores como (itex)frac{8pi G}{c^4}(/itex) sejam reduzidos a (itex)8pi(/itex).

Estrutura da EFE:

• A EFE é uma equação tensorial simétrica de segunda ordem, a estrutura mais simples que descreve a relação entre a curvatura do espaço-tempo e a distribuição de energia-matéria.
• Tensores envolvidos:
  • (itex)T_{munu}(/itex): Tensor tensão-energia que descreve energia, momento e tensão.
  • (itex)R_{munu}(/itex): Tensor de curvatura de Ricci que descreve a curvatura do espaço-tempo.
  • (itex)g_{munu}(/itex): Tensor métrico que outline a geometria do espaço-tempo.
  • Escalares (itex)R(/itex) e (itex)T(/itex) (traços de (itex)R_{munu}(/itex) e (itex)T_{munu}(/itex) ) são usados ​​como multiplicadores.

Constante Cosmológica ((itex)Lambda(/itex)):

A adição de um pequeno múltiplo de (itex)g_{munu}(/itex), a constante cosmológica (itex)Lambda(/itex), permite que as equações descrevam a expansão acelerada do universo. Os EFE modificados são: (tex) R_{munu} – frac{1}{2} R g_{munu} + Lambda g_{munu} = frac{8pi G }{c^4} T_{munu} (/tex)

Componentes Hint e Traceless:

Um tensor simétrico pode ser decomposto em:

1. Parte Escalar (Hint): (tex) R = -8pi T (/tex)
2. Parte do tensor sem rastros: (tex) R_{munu} – frac{1}{4} R g_{munu} = 8pi left( T_{munu} – frac{1}{4} T g_{munu} proper) (/tex)

Razão para o fator (itex)8pi(/itex):

O fator (itex)8pi(/itex) garante consistência entre as Equações de Campo de Einstein e a gravidade newtoniana no limite do campo fraco. Na gravidade newtoniana, a equação de Poisson relaciona o potencial gravitacional (itex)Phi(/itex) à densidade de massa (itex)rho(/itex): (tex) nabla^2 Phi = 4pi G rho (/tex) Para recuperar isso da EFE, o tensor de Einstein (itex)G_{munu}(/itex) deve produzir uma forma comparável. O fator (itex)8pi(/itex) surge naturalmente para dimensionar o tensor tensão-energia (itex)T_{munu}(/itex) adequadamente em contextos relativísticos, mantendo a compatibilidade com os fenômenos gravitacionais observados.

Principais insights:

• A EFE reduz-se à lei da gravidade de Newton no campo fraco e no limite de baixa velocidade, fornecendo uma estrutura unificadora para a gravidade clássica e relativística.
• Soluções para a EFE, como métricas de Schwarzschild, Kerr ou Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker, descrevem buracos negros, espaços-tempos giratórios e modelos cosmológicos.

Notação Não Padrão (“Notr”):

A notação “Notr” para indicar partes sem traços de tensores não é padrão e pode confundir os leitores. A prática comum é descrever componentes sem rastreio explicitamente, sem introduzir nova notação.