Demorei uma eternidade para resolver e anotar os detalhes das implicações da proposta descrita aqui. Enquanto esperava que isso fosse feito, pensei que seria uma boa ideia escrever uma parte disto, que poderia ser uma espécie de parte introdutória do longo documento em que estive trabalhando. Pelo menos isso começa de maneira muito simples, explicando o que está acontecendo em termos que deveriam ser compreensíveis para qualquer pessoa que tenha estudado a quantização de um campo espinor.
Não estou dizendo nada aqui sobre como usar isso para obter uma teoria unificada melhor, mas estou apontando para o lugar preciso na história QFT padrão (a rotação de Wick de um grau de liberdade de Weyl) onde vejo uma oportunidade de fazer algo diferente. Este é um negócio bastante técnico, ao qual adoraria convencer as pessoas que vale a pena prestar atenção. Comentários de qualquer pessoa que já pensou sobre isso antes são extremamente bem-vindos.
Os graus de liberdade da matéria no Modelo Padrão são descritos por campos espinoriais quirais. Antes de acoplar aos campos de calibre e ao Higgs, todos estes satisfazem a equação de Weyl
$$(frac{partial}{partial t}+boldsymbolsigmacdotboldsymbolnabla)psi (t,mathbf x)=0$$
A transformada de Fourier desta equação é
$$ (E-boldsymbol sigmacdot mathbf p)widetilde{psi}(E,mathbf p)=0$$
Multiplicando por $(E+boldsymbol sigmacdot mathbf p)$, as soluções satisfazem
$$(E^2-|mathbf p|^2)=0$$
portanto, são suportados nos cones de luz positivos e negativos $E=pm |mathbf p|$.
O operador de helicidade
$$frac{1}{2}frac{boldsymbolsigmacdot mathbf p}$$
atuará por $+frac{1}{2}$ em soluções de energia positiva, que se diz terem helicidade “destra”. Para soluções de energia negativa, o autovalor será $-frac{1}{2}$ e estas são consideradas “helicidade canhota”.
O campo quantizado $widehat{psi}$ aniquilará partículas destras e criará antipartículas canhotas, enquanto seu adjunto $widehat{psi}^dagger$ criará partículas destras e aniquilará canhotos. entregou antipartículas. Pode-se descrever todas as partículas de matéria do modelo padrão usando tal campo. Partículas como o elétron, que possuem componentes destros e canhotos, podem ser descritas por dois desses campos quirais (observe que é livre para trocar o que chamamos de “partícula” ou “antipartícula”, ou equivalentemente, qual campo é $widehat{psi}$ e qual é o adjunto). Os acoplamentos para campos de medição são introduzidos alterando as derivadas para derivadas covariantes.
O Lagrangiano será
start{equação} label{eq:minkowski-lagrangian} L=psi^dagger(frac{partial}{partial t}+boldsymbolsigmacdotboldsymbolnabla)psi
fim{equação}
que é invariante sob a ação do grupo $SL(2,mathbf C)$, o spin double-cover da orientação temporal preservando as transformações de Lorentz. Para ver como isso funciona, observe que é possível identificar vetores espaço-tempo de Minkowski com matrizes complexas autoadjuntas bidimensionais, como em
$$(E,mathbf p)leftrightarrow M(E,mathbf p)=E-boldsymbol sigmacdot mathbf p=start{pmatrix} E-p_3& -p_1+ip_2-p_1-ip_2&E +p_3end{matriz}$$
com a norma Minkowski ao quadrado $-E^2-|mathbf p|^2=-det M$. Os elementos $Sin SL(2,mathbf C)$ atuam por
$$Mrightarrow SMS^dagger$$
que, por preservar a autojunção e o determinante, é uma transformação de Lorentz.
O propagador de um campo espinor quiral livre no espaço-tempo de Minkowski é (como outros qfts) mal definido como uma função. É uma distribuição, geralmente definida como um certo limite ($iepsilon$ prescrição). Isso pode ser feito considerando as variáveis de tempo e energia complexas, com o propagador uma função holomórfica nessas variáveis em determinadas regiões, dando a distribuição em tempo actual como um valor limite da função holomórfica. Em vez disso, pode-se “girar Wick” para o tempo imaginário, onde o propagador analiticamente continuado se torna uma função bem definida.
Existe um formalismo bem desenvolvido para trabalhar com campos escalares girados por Wick em tempo imaginário, mas a rotação de Wick de um campo espinor quiral é altamente problemática. A fonte do problema é que no espaço-tempo de assinatura euclidiana, a identificação de vetores com matrizes complexas funciona de maneira diferente. Considerando a energia complexa (portanto, na forma $E+is$), a rotação de Wick fornece matrizes
$$start{pmatrix} is-p_3& -p_1+ip_2-p_1-ip_2&is+p_3end{pmatrix}$$
que não são mais autoadjuntos. O determinante de tal matriz é menos a norma euclidiana ao quadrado $(s^2 +|mathbf p|^2)$. Identificando $mathbf R^4$ com matrizes desta forma, a cobertura dupla de spin do grupo ortogonal $SO(4)$ é
$$Spin(4)=SU(2)_Lvezes SU(2)_R$$
com pares de elementos $S_L,S_R$ de elementos do grupo $SU(2)$, agindo por
$$start{pmatrix} is-p_3& -p_1+ip_2-p_1-ip_2&is+p_3end{pmatrix}rightarrow S_Lbegin{pmatrix} is-p_3& -p_1+ip_2-p_1-ip_2&is+p_3 finish{pmatrix}S_R^{-1}$$
A rotação Wick do espaço-tempo Lagrangiano de Minkowski acima só será invariante no subgrupo $SU(2)subset SL(2,C)$ de matrizes tais que $S^dagger=S^{-1}$ (estas são as transformações de Lorentz que deixam a direção do tempo invariante, portanto são apenas rotações espaciais). Também não será invariante no grupo $Spin(4)$ completo, mas apenas no subgrupo diagonal $SU(2)$. A interpretação convencional é que uma teoria de campo de espinor girado por Wick deve conter dois campos de espinor quirais diferentes, um transformando em $SU(2)_L$, o outro em $SU(2)_R$.
O argumento de esta pré-impressão é que é possível que não haja nada de errado com a rotação ingênua de Wick do espinor quiral Lagrangiano. Isso faz todo o sentido, mas apenas o subgrupo diagonal $SU(2)$ de $Spin(4)$ atua de forma não trivial no espaço-tempo girado por Wick. O resto do grupo $Spin(4)$ atua trivialmente no espaço-tempo girado por Wick e se comporta como uma simetria interna, abrindo novas possibilidades para a unificação de simetrias internas e de espaço-tempo.
Deste ponto de vista, a relação entre vetores espaço-tempo e espinores não é a regular, de uma forma que não importa no espaço-tempo Minkowski, mas sim no espaço-tempo euclidiano. Mais especificamente, no espaço-tempo complexo o grupo Spin é
$$Spin(4,mathbf C)=SL(2,mathbf C)_Ltimes SL(2,mathbf C)_R$$
existem dois tipos de espinores ($S_L$ e $S_R$) e a história regular é que os vetores são o produto tensorial $S_Lotimes S_R$. Restringindo ao espaço-tempo euclidiano tudo o que acontece é que os grupos $SL(2,mathbf C)$ se restringem a $SU(2)$.
Porém, algo muito mais sutil está acontecendo quando se restringe ao espaço-tempo de Minkowski. Lá, a história regular é que os vetores são o subespaço de $S_Lotimes S_R$ invariantes sob a ação de troca simultânea de fatores e conjugação. Eles são acionados pela restrição de $Spin(4,mathbf C)$ ao subgrupo anti-diagonal de pares $SL(2,mathbf C)$ $(Omega,overline{Omega})$.
A proposta aqui é que, em vez disso, deve-se considerar vetores complexos do espaço-tempo como o produto tensorial $S_Rotimes overline{S_R}$, usando apenas espinores destros, e a restrição ao subgrupo de Lorentz como apenas a restrição ao $SL(2 ,mathbf C)_R$ fator. Isso é indistinguível da história regular se você apenas pensar no espaço-tempo de Minkowski, já que tudo que você tem é um $SL(2,mathbf C)$, sua representação de spin $S$ e o conjugado $overline S$ desta representação . Exatamente por causa desta indistinguibilidade, não se está alterando de forma alguma as simetrias do espaço-tempo de Minkowski, em specific não se introduzindo uma direção de tempo distinta.
No entanto, quando se vai para o espaço-tempo euclidiano, as coisas são bem diferentes da história routine. Agora apenas o subgrupo $SU(2)_R$ de $Spin(4)=SU(2)_Ltimes SU(2)_R$ atua de forma não trivial em vetores, o $SU(2)_L$ se torna uma simetria interna . Como $S_R$ e $overline{S_R}$ são representações equivalentes, a representação vetorial é equivalente a $S_Rotimes S_R$ que se decompõe na soma direta de uma representação unidimensional e uma representação tridimensional. Ao contrário do espaço-tempo de Minkowski, existe uma direção distinta, a direção do tempo imaginário.
Ter uma direção tão distinta é geralmente considerado uma inconsistência deadly. Seria no espaço-tempo de Minkowski, mas a forma como a quantização na teoria quântica de campos euclidiana funciona não é uma inconsistência. Para recuperar o tempo actual físico, teoria invariante de Lorentz, é necessário escolher uma direção distinta e usá-la (“reflexão de Osterwalder-Schrader”) para construir o espaço de estados físicos. Além da pré-impressão aquiconsulte o capítulo 10 de essas notas para uma explicação mais detalhada da história regular das diferentes formas reais de espaço quadridimensional complexificado.
