Matemática e física não podem provar todas as verdades

Matemática e física não podem provar todas as verdades

Por Manon Bischoff

Você nunca será capaz de provar todas as verdades matemáticas. Para mim, este teorema da incompletude, descoberto por Kurt Gödel, é um dos resultados mais incríveis da matemática. Pode não surpreender a todos – há todo o tipo de coisas improváveis ​​na vida quotidiana – mas para os matemáticos, esta ideia foi um choque. Afinal, eles podem construir seu próprio mundo a partir de alguns blocos básicos, os chamados axiomas. Somente as regras que eles criaram se aplicam ali, e todas as verdades são compostas por esses blocos básicos de construção e pelas regras correspondentes. Se você encontrar a estrutura correta, como os especialistas acreditaram há muito tempo, você deverá ser capaz de provar todas as verdades de alguma forma.

Mas em 1931 Gödel demonstrou o contrário. Sempre haverá verdades que escapam à estrutura matemática básica e são impossíveis de provar. E esta não é uma constatação puramente abstrata, sem implicações para situações práticas. Pouco depois do trabalho inovador de Gödel, surgiram os primeiros problemas comprovadamente improváveis. Por exemplo, nunca será possível esclarecer quantos números reais existem dentro do quadro matemático actualmente em uso. E problemas insolúveis não se limitam à matemática. Por exemplo, em certos jogos de cartas e de computador (como Magic: The Gathering), podem surgir situações nas quais é impossível determinar qual jogador vencerá. E na física nem sempre é possível prever se um sistema cristalino conduzirá eletricidade.

Agora, especialistas, incluindo o físico Toby Cubitt, da College School London, encontraram outra maneira pela qual o teorema da incompletude se reflete na física. Eles descreveram um sistema de partículas que passa por uma transição de fase – uma mudança semelhante à mudança quando a água congela abaixo de uma temperatura de zero graus Celsius. Mas o parâmetro crítico no qual ocorre a transição de fase para este sistema de partículas não pode ser calculado, ao contrário do da água. “Nosso resultado… ilustra como números incomputáveis ​​podem se manifestar em sistemas físicos”, escrevem os físicos em um artigo pré-impresso publicado no mês passado no servidor arXiv.org.

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Uma transição de fase indeterminável

Esta não é a primeira vez que os especialistas se deparam com uma transição de fase imprevisível. Em 2021 Cubitt e dois de seus colegas descreveram outro sistema físico cujas transições são imprevisíveis. Nesse caso, entretanto, havia um número infinito de transições de fase possíveis. Tais situações não ocorrem na natureza. Os investigadores questionaram-se, portanto, se a imprevisibilidade poderá ocorrer em sistemas realistas.

No novo trabalho, Cubitt e seus colegas investigaram um sistema bastante simples: uma rede quadrada finita contendo um arranjo de várias partículas, cada uma interagindo com seu vizinho mais próximo. Tais modelos são geralmente usados ​​para descrever sólidos. Isso ocorre porque seus átomos estão dispostos em uma estrutura common e seus elétrons podem interagir com os dos átomos imediatamente adjacentes. No modelo de Cubitt, a força da interação entre os elétrons depende de um parâmetro φ-quanto maior φ isto é, mais fortemente as partículas nas camadas atômicas se repelem.

Se a repulsa φ é pequeno, os elétrons externos são móveis: eles podem saltar para frente e para trás entre os núcleos atômicos. Quanto mais forte φ isto é, mais os elétrons congelam em seu lugar. Este comportamento diferente também se reflete na energia do sistema. Você pode observar o estado basic (a energia whole mais baixa) e o próximo estado de energia mais alto. Se φ é muito pequeno, a energia whole do sistema pode crescer continuamente. Como resultado, o sistema conduz eletricidade sem problemas. Para grandes valores de φ, no entanto, a situação é diferente. Com tais valores, a energia só aumenta gradativamente. Existe uma lacuna entre o estado basic e o primeiro estado excitado. Neste caso – dependendo do tamanho da lacuna – o sistema seria um semicondutor ou um isolante.

Até o momento, os físicos criaram milhares de modelos semelhantes para descrever todos os tipos de sólidos e cristais. Mas como o sistema apresentado por Cubitt e seus colegas apresenta dois comportamentos diferentes, deve haver uma transição entre a fase condutora e a fase isolante. Em outras palavras, existe um valor de φ acima do qual o espectro de energia do sistema subitamente apresenta uma lacuna.

Um número incalculável

Cubitt e sua equipe determinaram o valor de φ em que essa lacuna ocorre. E isso corresponde à chamada constante de Chaitin Ω—um número que pode parecer acquainted para os nerds da matemática porque está entre os poucos exemplos conhecidos de números que não podem ser calculados. Estes são números irracionais cujas casas decimais continuam para sempre e nunca se repetem regularmente. Em contraste com números irracionais computáveis, como π ou e, entretanto, o valor de um número não computável não pode ser aproximado com precisão arbitrária. Não existe nenhum algoritmo que, se for executado por um tempo infinitamente longo, produza Ω. Se Ω não puder ser calculado, então também não será possível especificar quando ocorre uma transição de fase no sistema estudado por Cubitt e seus colegas.

O matemático argentino-americano Gregory Chaitin definiu Ω precisamente com o propósito de encontrar um número não calculável. Para isso, ele utilizou o famoso problema da parada da ciência da computação: segundo ele, não existe máquina que possa julgar, para todos os algoritmos possíveis, se um computador que os executa irá parar em algum momento ou não. Se você fornecer qualquer algoritmo a um computador, poderá ser possível julgar se esse algoritmo pode ser executado em um tempo finito. Mas não existe comprovadamente nenhum método que possa fazer isso para todos os códigos de programa concebíveis. O problema da parada é, portanto, também uma aplicação direta do teorema da incompletude de Gödel.

A constante de Chaitin Ω corresponde à probabilidade com que o modelo teórico de um computador (uma máquina de Turing) para para qualquer entrada:

Nesta equação p denota todos os programas que param após um tempo de execução finito e |p| descreve o comprimento do programa em bits. Para calcular a constante de Chaitin com exatidão, você teria que saber quais programas são válidos e quais não são – o que não é possível, de acordo com o problema de retenção. Embora em 2000 o matemático Cristian Calude e seus colegas conseguiu calcular os primeiros dígitos da constante de Chaitin, 0,0157499939956247687…, nunca será possível encontrar todas as casas decimais.

A equipe de Cubitt conseguiu, portanto, provar matematicamente que seu modelo físico sofre uma transição de fase para um valor de φ = Ω: passa de condutor a isolante. Entretanto, como Ω não pode ser calculado com exatidão, o diagrama de fases do sistema físico também é indefinido. Para ser claro, isto não tem nada a ver com o facto de os computadores actuais não serem suficientemente potentes ou de não haver tempo suficiente para resolver o problema – a tarefa é comprovadamente insolúvel. “Nossos resultados ilustram que números incomputáveis ​​podem emergir como pontos de transição de fase em modelos semelhantes à física, mesmo quando todos os dados microscópicos subjacentes são totalmente computáveis”, escrevem os físicos em seu artigo.

Tecnicamente, a precisão com que a constante de Chaitin pode ser especificada a torna suficiente para aplicações do mundo actual. Mas o trabalho de Cubitt e dos seus colegas ainda ilustra mais uma vez quão incrivelmente abrangente é a visão de Gödel. Mesmo depois de mais de 90 anos, ainda existem novos exemplos de afirmações improváveis. É provável que problemas físicos de longo alcance, como a busca por uma teoria de tudosão afetados pelos teoremas da incompletude de Gödel.

Este artigo apareceu originalmente em Spektrum der Wissenschaft e foi reproduzido com permissão.