Sobre vários problemas de irracionalidade para a série de Ahmes

Vjeko Kovac e acabei de enviar para o arXiv nosso artigo “Sobre vários problemas de irracionalidade para a série de Ahmes“. Este artigo resolve (ou pelo menos faz progressos parciais) algumas questões em aberto de Erdős e outros sobre a irracionalidade da Série Ahmesque são séries infinitas da forma para alguma sequência crescente de números naturais. É claro que, uma vez que a maioria dos números reais são irracionais, espera-se que tais séries sejam “genericamente” irracionais, e tornamos esta intuição precisa (tanto no sentido probabilístico como no sentido da categoria de Baire) no nosso artigo. No entanto, muitas vezes é difícil estabelecer a irracionalidade de qualquer série específica. Por exemplo, já é uma questão não trivial resultado de Erdős que a série é irracional, enquanto a irracionalidade (equivalente a Problema de Erdős #69) permanece aberto, embora muito recentemente Pratt estabeleceu isso condicionalmente na conjectura das tuplas principais de Hardy-Littlewood. Finalmente, a irracionalidade (Problema de Erdős #68) está completamente aberto.

Por outro lado, sabe-se há muito tempo que se a sequência cresce mais rápido do que para qualquer então a série de Ahmes é necessariamente irracional, basicamente porque as partes fracionárias de podem ser quantidades positivas arbitrariamente pequenas, o que é inconsistente com sendo racional. Esta taxa de crescimento é acentuada, como pode ser visto pela iteração da identidade para obter uma série racional de Ahmes da taxa de crescimento para qualquer fixo cresce um pouco mais lentamente do que as sequências acima, no sentido de que por exemplo se para um fixo então pode-se encontrar uma sequência comparável para o qual é racional. Isto aborda parcialmente Problema de Erdős #263que perguntou se a sequência tinha essa propriedade, e se alguma sequência de crescimento exponencial ou mais lento (mas com convergente) tinha essa propriedade. Infelizmente quase não perdemos uma solução completa para ambas as partes do problema, uma vez que a condição precisamos apenas falhar em cobrir o caso e também não é válido para todas as sequências que vão ao infinito em uma taxa exponencial ou mais lenta.

Também mostramos a seguinte variante; se tem um crescimento exponencial no sentido de que com convergente, então existem números naturais próximos tal que é racional. Isso responde à primeira parte do Problema de Erdős #264 que perguntou sobre o caso embora a segunda parte (que pergunta sobre ) está um pouco fora do alcance de nossos métodos. Na verdade, mostramos que a hipótese do crescimento exponencial é melhor possível no sentido de que uma aleatório sequência que cresce mais rápido do que exponencialmente não tem esta propriedade, este resultado não aborda nenhuma sequência superexponencial específica, como embora se aplique a alguma sequência da forma .

Nossos métodos também podem lidar com variantes de dimensões superiores nas quais múltiplas séries são simultaneamente definidas como racionais. Talvez o resultado mais surpreendente seja este: podemos encontrar uma sequência crescente dos números naturais com a propriedade que é racional para todo racional (excluindo os casos para evitar a divisão por zero)! Isto responde (negativamente) a uma questão de Stolarsky Problema de Erdős #266e também reprova Problema de Erdős #265 (e neste último caso pode-se até fazer crescer o dobro exponencialmente rápido).

Nossos métodos são elementares e evitam quaisquer considerações teóricas dos números, baseando-se principalmente na natureza densa contável dos racionais e em uma técnica de aproximação iterativa. A primeira observação é que a tarefa de representar um determinado número como uma série de Ahmes com cada um deitado em algum intervalo (com o disjunto e indo ao infinito rápido o suficiente para garantir a convergência da série), é possível se e somente se a soma infinita

conter onde . De forma mais geral, para representar uma tupla de números indexado por algum conjunto de números simultaneamente como com isso é o mesmo que pedir a soma infinita

conter onde agora

Portanto, o principal problema é obter controle sobre essas somas infinitas. Aqui usamos uma observação muito simples:

Proposição 1 (aproximação iterativa) Deixar seja um espaço Banach, deixe ser conjuntos com cada contido na bola de raio com convergente, de modo que a soma infinita está bem definido. Suponha que se tenha alguma série convergente em e conjuntos convergindo em norma para zero, tal que

para todos . Então a soma infinita contém .

Informalmente, a condição (2) afirma que ocupa todo “na escala “.

Prova: Deixar . Nossa tarefa é expressar como uma série com . De (2) podemos escrever

para alguns e . Iterando isso, podemos encontrar e tal que

para todos . Enviando obtemos

conforme necessário.

Em uma dimensão, conjuntos da forma são densos o suficiente para que a condição (2) pode ser satisfeito em um grande número de situações, levando à maioria dos nossos resultados unidimensionais. Em dimensão superior, os conjuntos ficam em curvas em um espaço de alta dimensão e, portanto, não obedecem diretamente às inclusões utilizáveis ​​​​da forma (2); no entanto, para escolhas adequadas de intervalos pode-se pegar algumas somas finitas que se tornará denso o suficiente para obter inclusões utilizáveis ​​da forma (2) uma vez atinge a dimensão do espaço ambiente, basicamente graças ao teorema da função inversa (e às curvaturas que não desaparecem da curva em questão). Para o problema de Stolarsky, que é um problema de dimensão infinita, verifica-se que é possível modificar esta abordagem deixando crescer lentamente até o infinito com .