Esta matemática, agora ensinada sob os auspícios da “Álgebra 1”, não é tão estranha ou desconhecida para nós (onde por “nós” quero dizer “leitores de blogs de matemática”). Mas Pycior revela a sua whole estranheza.
Não são apenas os jovens de 13 anos que acham isso difícil de engolir. Ainda em meados do século XIX, alguns matemáticos britânicos tiveram de ser arrastados, aos pontapés e aos gritos, para este mundo de pesadelo onde os símbolos flutuavam livres das coisas que simbolizavam.
Veja esta citação de William Hamilton, mais conhecido por sonhar com os quatérnios, em uma carta a um colega:
Pertencemos a pólos opostos da álgebra; já que você… parece considerar a Álgebra como um ‘Sistema de Sinais e de suas combinações’, um tanto análogo aos silogismos expressos em letras; enquanto nunca estou satisfeito a menos que pense que posso olhar além ou através dos sinais para as coisas significadas.
Você entendeu isso? William Hamilton, que nos deu a nossa bizarra generalização não comutativa dos números complexos, não queria que a álgebra fosse uma ciência apenas de símbolos.
Ele queria saber, em termos precisos, o que os símbolos simbolizavam.
Ninguém se opôs a uma forma mais modesta de álgebra que se poderia chamar de “aritmética generalizada”. Uma afirmação como 2x+3x=5x pode ser lida como um resumo conciso de um padrão aritmético concreto: o dobro de qualquer número, mais o triplo desse número, dá o quíntuplo desse número.
Esse tipo de álgebra foi aceito por unanimidade.
Mas coisas como multiplicar dois negativos para obter um positivo… bem, isso não period mais aritmética. Period puro simbolismo, sem nenhuma coisa clara sendo simbolizada. Isto trabalhadono sentido de que deu resultados consistentes e provou ser útil na abordagem de problemas matemáticos e científicos… mas não tornou reais e concretos senso.
Aceitar “um negativo vezes um negativo é um positivo” é perder a sua inocência matemática. É desistir de símbolos que tenham significados claros e concretos no mundo actual. É adotar uma visão distinta da matemática dos séculos XIX e XX como um sistema lógico autoconsistente. É, como disse Hilbert, aceitar a matemática como “um jogo jogado de acordo com certas regras simples, com marcas sem sentido no papel”.
Resumindo: a álgebra não é difícil apenas para adolescentes ranzinzas. É difícil para qualquer pessoa com um compromisso intelectual com o significado dos símbolos.
2. Ian Hacking e o surgimento da probabilidade
Alguém no Twitter brincou (period uma piada?) Que eles exigem que seus alunos do Intro Stats leiam o livro de Ian Hacking O surgimento da probabilidade. Parece um trabalho bastante pesado, dado o quão desafiador os alunos acham ler, digamos, o plano de estudos. Mesmo assim, fiquei intrigado.
E o livro é estranhamente envolvente. Aprendi que o surgimento da probabilidade foi…
Abrupto. Aconteceu de forma muito distinta entre 1650 e 1670.
Difundido. Dezenas de pensadores abordaram os mesmos temas ao mesmo tempo.
Surpreendentemente tarde. As pessoas jogam há milênios. Obviamente, 1660 não foi a primeira vez que alguém quis ganhar no jogo. Então, por que a longa espera pela probabilidade?
Claramente, a probabilidade surgiu porque, em meados de 1600, algo estava “no ar”. Antecedentes como Cardano apenas provam isso: ele expôs os primórdios da probabilidade um século antes, e ninguém pegou o fio. Que melhor evidência de que as pessoas não estavam preparadas para a probabilidade do que o fato de que alguém lhes enviou uma mensagem de texto e elas deixaram como “não lido” por anos?
Agora, sou capaz de deturpar o delicado argumento de Hacking, mas, em resumo, ele resolve o mistério analisando formas de conhecimento. Por volta de 1600, havia duas formas básicas de conhecimento.
Primeiro (e um pouco mais reconhecível para nós) foi certo conhecimento: coisas que sabemos sem sombra de dúvida porque foram provadas, ao estilo de Euclides, por meio de demonstração irrefutável. Isso incluía não apenas matemática, mas também astronomia, óptica e coisas do gênero. (Hoje, tendemos a ver esta categoria como virtualmente vazia, porque vemos as verdades empíricas como fundamentalmente contingentes e incertas. Mas isso é porque vemos através de olhos pós-probabilidade.)
O segundo (e mais estranho) tipo de conhecimento period testemunho ou opinião: coisas que sabemos porque uma autoridade declarou que é verdade.
É daí que se origina a palavra “provável”. E seu significado não period o que pensamos.
Naquela época, probabilidade referido a estima que temos pela autoridade testemunhal. Significava algo como “dignidade de aprovação”. Um fato “provável” veio de alguém respeitável como Tito Lívio ou Políbio; um “improvável” de algum escriba sem nome. Hacking cita frases como “este relato é altamente provável, mas sabidamente falso” – o que parece paradoxal aos nossos ouvidos, mas period uma coisa perfeitamente sensata de se dizer na época.
De qualquer forma, falta notavelmente nesta dicotomia: a ideia de evidência física.
Nuvens como evidência de uma tempestade. Tosse como evidência de febre. Pegadas na neve como evidência de um coelho próximo. O que fazer com esses tipos de sinais – não exatamente as causas, porque eles não garantia um efeito, mas apenas insinuá-lo com vários graus de força? Tais sinais foram incluídos na segunda categoria de conhecimento, classificada como “o testemunho da natureza”. De acordo com Hacking (e aqui ele meio que me perde), isso não period uma metáfora: as pessoas literalmente pensavam nisso como testemunhos, relatos de autoria da natureza.
É desse segundo tipo de conhecimento que surgiu a probabilidade.
Escreverei mais sobre isso em breve. (O livro merece uma extensa edição de 5.000 palavras Revisão estilo ACX.) Mas uma conclusão é esta: a forma como concebemos a probabilidade e a estatística está carregada de uma enorme bagagem. Assim como quilômetros de atmosfera invisível estão sempre pesando sobre nossas cabeças, quilômetros de convicções esquecidas e teologias perdidas também pesam sobre nossas alegres afirmações de que “a probabilidade de dar cara é de 50%” ou “a probabilidade de (redigido) vencer a eleição é (redigido).”
Ainda mais brevemente: a probabilidade não é difícil apenas para pré-adolescentes ranzinzas. Essa matemática está inevitavelmente emaranhada com toda a sua visão de mundo.
3. Anna Sfard e o milagre de um Como Tornando-se um O que
Agressivamente condensado, seu argumento é este. Primeiro aprendemos matemática como processo. Mais tarde, num misterioso e quase milagroso perception, reinterpretamos o processo como uma estruturaum objeto por si só.
Veja o início da matemática escolar: contando. Mostre 5 objetos a uma criança em idade pré-escolar e ela os contará: “um, dois, três, quatro, cinco”. Em seguida, adicione outro objeto e diga: “Quantos agora?”
A maioria das crianças não constrói a partir dos cinco anos. Eles vão começar tudo de novo: “um, dois, três, quatro, cinco, seis”. Para eles, “cinco” só faz sentido como parte do processo de contagem. Ainda não é um objeto em si. Ainda não é o que chamaríamos de número.
Para fazer aritmética – digamos, somar cinco e cinco – você precisa pegar o resultado desse processo de contagem e começar a tratá-lo como um objeto em si, um movimento que Sfard chama de reificação.
Este ciclo de aprendizagem não serve apenas para contar. O processo de divisão (4 pizzas divididas entre 7 pessoas) dá origem ao objeto que chamamos de “frações” (4/7, que é o resultado desse processo de divisão, mas também um objeto por si só).
Os processos de cálculo (duplicar e depois adicionar cinco) dão origem a expressões algébricas (2x+5, que é o resultado do processo de cálculo, mas também um objeto por si só) e, eventualmente, a funções.
A propósito, as funções levaram séculos para serem definidas. A definição que ensinei a jovens de 16 anos – segundo a qual uma função é um conjunto de pares ordenados (x,y), com x no domínio e y no contradomínio, e cada x aparecendo precisamente em um par ordenado – é um triunfo barroco da reificação, um artefato de Bourbaki e do século XX.
O que nos leva ao ponto chave de Sfard: a reificação é ao mesmo tempo um pedagógico processo e um histórico um. É como diziam os biólogos do desenvolvimento: a ontogenia recapitula a filogenia.
As lutas dos matemáticos históricos são uma prévia do que nossos alunos passam.
4. Dois pensamentos contraditórios sobre a história da matemática
Todos parecem sentir que falta um elemento humano nas aulas de matemática. Qual é o problema com essas regras? Quem inventou essas coisas? Por que estamos fazendo isso? Na busca de sentido, é comum invocar a história. Se pudéssemos apenas explicar Quem veio com essas coisas, e por queentão talvez daria ao sujeito um rosto humano, um contexto significativo.
Esse é o Pensamento nº 1: a esperança de que a história possa resgatar a matemática da sua obscuridade e abstração.
O pensamento nº 2 é que isso realmente não funciona.
Falo por experiência própria, da mesma forma que Charlie Brown fala por experiência própria sobre chutar bolas de futebol. Por exemplo, nos primeiros rascunhos do livro que se tornaria A mudança é a única constantenarrei grande parte da história do cálculo, achando que isso period muito inteligente e envolvente.
“Hummm…” minha editora Becky disse. “Este é um muito da história.”
Essa foi sua maneira educada de dizer: “Por que, Ben, por que?!”
Pessoas entediadas e alienadas pela matemática podem pensar eles querem história. Mas a história não simplifica as coisas. Isso os complica enormemente. À medida que você rastreia seus ancestrais através das gerações, sua árvore genealógica cresce exponencialmente. O mesmo acontece com as ideias. As linhagens se multiplicam. O passado pode explicar o presente, mas boa sorte para explicar o passado.
Quando as pessoas dizem que querem “história”, o que elas realmente querem é história. Eles querem anedotas. Não é necessário que sejam verdadeiras e não é desejável que sejam historicamente rigorosas. Os mitos sobre gênios desaparecem suavemente; contingências complicadas, nem tanto.
O valor da história, então, não é para os alunos.
O valor da história é para professores.
A educação matemática está repleta de ideias profundas, maravilhosas e problemáticas. Eles nasceram do tumulto de séculos, de colaborações surpreendentes e de lutas arrasadoras e arrasadoras. Nossas notações, nossos conceitos, nossa sequência pedagógica — estes não eram, em geral, inevitáveis. Olhe para trás, para o caminho atrás de nós, e você encontrará rivais derrotados, concorrentes fracassados, alternativas esquecidas. Como tudo no mundo hoje, a disciplina que chamamos de “matemática” traz as marcas e cicatrizes dos milênios que a produziram. Para saber o que é — e para saber para onde irá nas próximas décadas — será necessário um conhecimento rico sobre a sua origem.
A história não pode resgatar a matemática da obscuridade. A história não consegue convencer os estudantes a abraçar a ideia de que dois negativos formam um positivo. A história não pode transformar pensadores rígidos e dogmáticos em ágeis e probabilísticos.
Mas professores que conhecem a históriaalém de saber matemática e conhecer os alunos – bem, talvez eles tenham uma probability.
