Palestra nº 1: Lá mora o frescor mais querido no fundo das coisas
Bem-vindos a todos ao Math 190 / Literatura 210: Prova Matemática como Literatura.
Sei que metade de vocês está aqui apenas para cumprir o requisito de redação e a outra metade, o requisito de matemática. De qualquer forma, espero causar-lhe muito desconforto intelectual.
Como você sabe, sou um estudioso de literatura, com formação mínima em matemática. No entanto, juntos alcançaremos e tocaremos os ramos mais finos e delicados da copa da matemática moderna. Muito provavelmente, iremos quebrá-los por engano.
De qualquer forma, começamos como os modernos devem fazer: venerando os antigos de uma forma dissimuladamente egoísta.
Em O pedido de desculpas de um matemáticodepois de um longo preâmbulo sobre a matemática como um jardim edênico de beleza inofensiva, GH Hardy finalmente se volta para a matemática actual:
Vou enunciar e provar dois dos famosos teoremas da matemática grega… São teoremas “simples”, simples tanto na ideia como na execução, mas não há dúvida alguma de que são teoremas da mais alta classe. Cada um deles é tão novo e significativo como quando foi descoberto — dois mil anos não escreveram uma ruga em nenhum deles.
Não é surpresa que Hardy chame as provas de “significativas”. Mas por que “fresco”?
Por que anunciar esta prova, como um tecido sintético, como “sem rugas”?
Talvez ele queira dizer que cada prova ainda “parece nova”? Mas se for assim, isso é tolo. Apresentação de Hardy é novo; ele não está usando a lógica precisa de Euclides, e certamente não está usando o seu grego preciso. Se ele elogia o estilo das provas como “fresco”, então está apenas a aplaudir a sua própria inteligência e entusiasmo, a sua própria capacidade de trazer de volta à vida estes textos empoeirados.
Ou, alternativamente, Hardy está fazendo uma afirmação sobre a natureza dos pensamentos matemáticos – que, de alguma forma, pensá-los é renová-los? Parece uma ideia adorável: que uma prova floresça novamente em cada mente que a pondera.
Mas o que isso diz sobre a tênue ontologia dos objetos matemáticos, se eles são renovados no mero pensamento?
Se uma prova se desenrola numa floresta, sem que a mente a perceba, ainda é logicamente correta?
De qualquer forma, chega desse jogo, desses erros de interpretação deliberados. Eu sei (ou acho que sei) o que Hardy quer dizer. Ele não está falando sobre um estilo novo ou sobre os ouvidos novos de um novo ouvinte. Ele está falando sobre a prova em si, que possui algum frescor intrínseco.
Mas isso também é preocupante.
Que tipo de coisas chamamos de “frescas”? Somente aqueles com potencial para murchar, desbotar, decair. Legumes e brisas podem ser frescos. Pedras e estrelas podem não.
Isto não contradiz a imagem tradicional (que Hardy pintou poucas páginas antes) das provas como obras atemporais? Não chamamos a pirâmide de Gizé de “fresca”. Não chamamos Stonehenge de “oportuno”. Como, então, a matemática pode ser ao mesmo tempo nova e eterno?
Ou, talvez – e aqui, depois de toda essa divagação, comecei a round em direção à minha própria visão do assunto – seja o frescor a própria essência da imortalidade da matemática? Será que a permanência da matemática não reside em algum tipo de relevância artística ou prática, mas no seu potencial para surpresa perpétua?
Deixo esta questão para suas seções de discussão: O que exatamente há de novo em uma prova antiga?
Palestra #2: O eu é uma gaiola em busca de um pássaro
Bem vindo de volta. Devo confessar que minha primeira palestra foi, no sentido mais estrito, um fracasso matemático. eu falei sobre uma prova; EU comprovado nada.
Vamos remediar isso hoje e considerar o primeiro dos dois exemplos de novidade de Hardy: a prova de que existem infinitos números primos.
Ele abre com uma definição:
Os números primos ou primos são os números
(A) 2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29,…
que não pode ser resolvido em fatores menores. Portanto, 37 e 317 são primos. Os primos são o materials a partir do qual todos os números são construídos por multiplicação: assim 666 = 2 ⋅ 3⋅ 3 ⋅ 37. Todo número que não é primo é divisível por pelo menos um primo (geralmente, é claro, por vários) .
A seguir vem a prova:
Temos que provar que existem infinitos números primos, ou seja, que a série (A) nunca chega ao fim.
Suponhamos que sim, e que
2, 3, 5,…, P
é a série completa (de modo que P é o maior primo); e consideremos, nesta hipótese, o número Q definido pela fórmula
Q = (2 ⋅3⋅5⋅… ⋅ P) +1.
É claro que Q não é divisível por nenhum de 2, 3, 5,…, P; pois deixa resto 1 quando dividido por qualquer um desses números. Mas, se não for primo, é divisível por algum primo e, portanto, existe um primo (que pode ser o próprio Q) maior que qualquer um deles. Isto contradiz a nossa hipótese de que não existe primo maior que P; e portanto esta hipótese é falsa.
Minha pergunta: Quem é o protagonista desta prova?
(“Espere”, você diz, “deve haver uma prova ter um protagonista?” Bem, essa pergunta impertinente é sua, e esta palestra é minha, então vamos partir da minha suposição preferida: que a prova, como a maioria das formas de narrativa, tem um herói. Ou pelo menos um ator que esteja em primeiro lugar na lista de convocação.)
Ao nomear o protagonista, pode-se apontar para P, o maior primo ostensivo. Mas leia novamente. O verdadeiro personagem focal não é P, mas seu antagonista Q, que aparece apenas no ato ultimate, e cuja natureza autodestrutiva é o motor narrativo de toda a prova.
Esta prova não tem herói. Tem um anti-herói.
Q é uma contradição incorporada. É primo e não. Primo, porque não é divisível por nenhum primo; e não, porque é maior do que qualquer primo (sob as suposições da prova) pode ser.
Hardy apresenta o dilema de Q em uma linguagem complexa e em camadas, com uma névoa de ambivalência. Tudo está expresso em condicionais (“se não for primo”), mas os condicionais se invertem (“portanto, existe um primo… que pode ser o próprio Q…”). Tal como Gregor Samsa, Q acorda para se encontrar grotesco, transformado, negado. Q é uma pobre criatura, conjurada por deuses insensíveis, com o único propósito de se refutar.
Hardy, é claro, desaprovaria esta leitura. Por que psicanalisar o personagem Q? Na mente de Hardy, não existe Q, não existe personagem. Esse é o ponto principal.
Mas na prova de Hardy, há é tal personagem: um primo não primo quimérico, tão actual quanto qualquer figura de mito ou personagem de ficção. Q é mais actual, ou pelo menos mais duradouro, do que o próprio Hardy, ou Euclides, ou qualquer um de nós, organismos em lenta decomposição nesta sala de conferências, cujas breves vidas, por puro acaso histórico, captam o brilho do momento presente.
Aula 3: Você pode ter qualquer coisa na vida se sacrificar todo o resto por isso.
Na última palestra, exploramos a prova de Hardy (a de Euclides, na verdade, mas Hardy está exercendo o direito de posse sobre ela) da infinidade dos primos.
Contudo, omiti o parágrafo mais famoso da passagem, um comentário ultimate de Hardy:
A prova é por reductio advert absurdum, e reductio advert absurdum, que Euclides tanto amava, é uma das melhores armas de um matemático. É uma jogada muito melhor do que qualquer jogada de xadrez: um jogador de xadrez pode oferecer o sacrifício de um peão ou mesmo de uma peça, mas um matemático oferece o jogo.
A bravata é magnética. Mas de que maneira exatamente um matemático oferece o jogo?
Hardy está se referindo ao momento essential – pelo qual ele realmente passa, com desconcertante indiferença – quando postulamos o oposto do que estamos tentando provar.
Temos que provar que existem infinitos números primos, ou seja, que a série (A) nunca chega ao fim.
Suponhamos que sim, e…
Ouviu isso? Nem mesmo um ponto ultimate, nem mesmo um ponto ultimate. Para esse risco existencial, Hardy oferece apenas uma vírgula de pontuação, meia pausa para respirar, antes de prosseguir.
Mas este momento merece mais. Vamos ficar aqui.
Hardy propõe sacrificar precisamente o que deseja provar. Os primos não terminam; então vamos supor que eles façam.
Os políticos sábios sabem que nunca devem repetir um ataque contra eles, nem mesmo refutá-lo ou negá-lo. Dizer alguma coisa é entretê-la, animá-la. A fofoca não se espalha porque é verdade; espalha-se porque é falado.
Hardy, então, deve estar jogando um jogo diferente do de um fofoqueiro ou de um político. Ele sabe que, na sua enviornment de provas lógicas, uma afirmação falsa não pode subsistir por muito tempo. Ele tropeçará em sua própria falsidade, ficará enredado em seus próprios cadarços mentirosos.
O que, então, ele arrisca? O que ele sacrifica?
Nada, na verdade. Na literatura matemática, todas as afirmações já existem, como estrelas distantes. Criar uma prova é guiar o nosso olhar ao longo de uma constelação destas afirmações pré-existentes, para revelar uma forma significativa na dispersão que de outra forma seria sem sentido.
É claro que não há risco de sacrificar o jogo.
Em vez disso, o que o matemático sacrifica é a si mesmo. O matemático entrega tudo: não a um adversário humano, mas ao próprio jogo, às regras fixas e impiedosas da lógica. Ela joga os remos para fora do barco e deixa as corredeiras levá-la para onde puderem, não importando os horrores que a aguardam.
E não se engane. Horrores aguardam.
Primos infinitos. Racionais perdidos como grãos de areia lançados em um mar irracional. Curvas irregulares em todos os pontos. Formas que não podemos medir. A lógica até se volta contra si mesma e prova as suas próprias limitações. Para percorrer esta paisagem devemos sacrificar, em vários graus, tudo o que há de humano em nós: intuição, visão, experiência, personalidade e, no ultimate, até a própria virtude que nos levou a iniciar a jornada, a sede de verdade certa.
É apenas uma ligeira indulgência dizer que ser matemático é sacrificar-se à matemática.
