Convergência pontual de médias polinomiais bilineares sobre os primos

4 de outubro de 2024

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Ben Krause, Hamed Mousavi, Joni Teräväinene acabei de enviar para o arXiv o artigo “Convergência pontual de médias polinomiais bilineares sobre os primos“. Este artigo baseia-se em uma experiência anterior resultado de Krause, Mirek e euno qual demonstramos a convergência pontual em quase todos os lugares das médias ergódicas

como ${N rightarrow infty}$ e quase todos ${x em X}$ em qualquer momento ${(X,T,mu)}$ é um sistema de preservação de medida (não necessariamente de medida finita), e ${f in L^{p_1}(X,mu)}$ , ${g in L^{p_2}(X,mu)}$ para alguns ${1 <p_1,p_2 <infty}$ com ${1/p_1 + 1/p_2 leq 1}$ onde ${P}$ é um polinômio com coeficientes inteiros e grau pelo menos dois. Aqui estabelecemos a versão principal deste teorema, ou seja, estabelecemos a convergência pontual das médias em quase todos os lugares

$displaystyle frac{1}{pi(N)} sum_{p leq N} f(T^px) g(T^{P(p)} x)$

sob as mesmas hipóteses ${(X,T,mu)}$ , ${f,g}$ . Pelos argumentos padrão, isso é equivalente à convergência pontual em quase todos os lugares das médias ponderadas

$displaystyle frac{1}{N} sum_{n leq N} Lambda(n) f(T^nx) g(T^{P(n)} x) (2)$

onde ${Lambda}$ é o Função de von Mangoldt. Nosso argumento também se baseia em resultados de uma artigo recente de Teräväinenque mostrou (entre outras coisas) que as médias semelhantes

$displaystyle frac{1}{N} sum_{n leq N} mu(n) f(T^nx) g(T^{P(n)} x)$

convergem em quase todos os lugares (muito rápido) para zero, pelo menos se ${X}$ é considerado uma medida finita. Aqui é claro ${mu}$ denota o Função de Möbius.

A estratégia básica é tentar inserir o peso ${Lambda}$ em todos os lugares na prova da convergência de (1) e adapte conforme necessário. As médias ponderadas são médias bilineares associadas ao símbolo bilinear

$displaystyle (xi_1,xi_2) mapsto frac{1}{N} sum_{n leq N} Lambda(n) e(n xi_1 + P(n) xi_2).$

No caso não ponderado, resulta da teoria combinatória aditiva de Peluse e Prendiville foram usados para essencialmente reduzir questões à contribuição onde ${xi_1,xi_2}$ eram “arco maior”, ponto em que este símbolo poderia ser aproximado por um símbolo mais tratável. Deixando de lado o passo Peluse-Prendiville por enquanto, o primeiro obstáculo é que a aproximação pure do símbolo não tem limites de erro suficientemente precisos se existir um zero de Siegel. Embora se pudesse, em princípio, corrigir isto adicionando um termo de correção de Siegel à aproximação, achamos mais simples usar os argumentos de Teräväinen para substituir essencialmente o peso de von Mangoldt ${Lambda}$ por um “aproximante de Cramér”

$displaystyle Lambda_{mathrm{Cramer}, w}(n) := frac{W}{phi(W)} 1_{(n,W)=1}$

onde ${W = prod_{p leq w} p}$ e ${c}$ é um parâmetro (fazemos a escolha quase polinomial ${w = exp(log^{1/C_0} N)}$ para uma constante absoluta adequada ${N}$ ). Este aproximante é então usado na maior parte do argumento, com mudanças relativamente rotineiras; por exemplo, um ${L^p}$ A melhoria da estimativa precisa ser substituída por um análogo ponderado que seja relativamente fácil de estabelecer a partir da versão não ponderada devido a uma ${L^2}$ efeito de suavização e um efeito nítido ${p}$ -estimativa de média bilinear adic para grandes ${p}$ também pode ser adaptado para lidar com um ambiente adequado ${p}$ -adic peso por uma variante menor dos argumentos. O passo mais complicado é obter uma versão ponderada do teorema inverso de Peluse-Prendiville. Aqui encontramos o problema técnico de que o aproximante de Cramér, apesar de ter muitas propriedades boas (em explicit, é não negativo e tem correlações bem controladas graças ao lema elementary da teoria da peneira), não é do “Tipo I”, o que se mostra bastante útil no estabelecimento de teoremas inversos. Portanto, para esta parte do argumento, mudamos da aproximante de Cramér para a Aproximante de Heath-Brown

$displaystyle Lambda_{mathrm{HB},Q}(n) := sum_{q<Q} frac{mu(q)}{phi(q)} c_q(n)$

onde ${c_q(n)}$ é o Soma de Ramanujan

$displaystyle c_q(n) := sum_{r in ({bf Z}/q{bf Z})^times} e(-rn/q).$

Embora este aproximante não seja mais não negativo, ele é do Tipo I e, portanto, adequado para a teoria inversa. Em nosso artigo, estabelecemos alguns teoremas básicos de comparação entre ${Lambda}$ , ${Lambda_{mathrm{Cramer},w}}$ e ${Lambda_{mathrm{HB},Q}}$ em várias normas do tipo uniformidade de Gowers, o que nos permite alternar com relativa facilidade entre os diferentes pesos na prática; esperamos que esses teoremas de comparação também sejam úteis em outras aplicações.